Problème de proba

[MathematicienPoche]

Bonjour,

Tout d'abord voici l'enonce:

Soit Xn une suite de v.a. Bin(1 , 1/2). On définit une nouvelle suite de v.a. De la manière suivante: Y(2n-1) = Xn, Y(2n) = 1 - Xn.

a) montrer que Yn -> Y en loi, Y étant une v.a dont vous identiiez la loi de probe.
Ici ça va, je trouve Y= 1/2

B) montrer que l'on ne peut pas avoir Yn -> Y en probabilité.
Alors la j'essaie d'utiliser la definition de la convergence en probe mais Yn a la même valeur que Y dans tout les cas ? je fais donc P(0 > € ) pour tout € > 0 quand n tend vers l'infini est égal a 0, mais le prof dit que ce n'est pas bon.

[zephira]

La convergence en proba => la convergence en loi
si la limite est une constante, la convergence en loi <=> la convergence en proba
Donc ton A) est faux.

[MathematicienPoche]

Et bien dans mon manuel il est écrit que la convergence en loi n'implique pas la convergence en proba

[girdav]

Et bien dans mon manuel il est écrit que la convergence en loi n'implique pas la convergence en proba

Heureusement, puisque ce n'est pas vrai.

[MathematicienPoche]

Alors est ce que quelquun a une idée?

[zephira]

mais la Si Yn converge vers une constante en loi alors elle converge en proba vers cette constante non?

[zephira]

d'ailleurs après vérification je suis sûr de ce résultat. La convergence en loi est équivalente à la convergence en probabilité si la limite est une constante.

[MathematicienPoche]

Et bien je ne sais pas quoi répondre mais selon mon exercice c impossible car au a j'arrive a une constante et au b la réponse est que ça ne converge pas, mais a moins dune preuve contraire je pense que mon numéro a est bon

[zephira]

Comment montres tu que ca converge en loi vers 1/2

[zephira]

d'ailleurs m'est avis que ta variable Yn elle converge vers une B(1,1/2)

[zephira]

bon ta v.a Yn elle ne converge pas vers 1/2 mais vers une Ber(1/2)
En effet par la fonction caractéristique :
phi(t)=E[exp(itYn)]= exp(it)(a/2 +b/2)+ (a/2+b/2)
a= indicatrice de n impair
b=indicatrice de n pair
donc finalement pour tout n phi(t)=exp(it)/2+1/2
donc lim n phi(t)=exp(it)/2 +1/2
On reconnait la fonction caractéristique d'une Ber(1/2)

Donc Yn converge en loi vers une Ber(1/2)

[zephira]

et donc dans ce cas la puisque lim Yn n'est pas une constante comme le dit ton cours,
convergence en loi n'entraine pas convergence en proba
Cherche avec ta définition, ca doit marcher

[girdav]

On peut montrer à la main qu'il n'y a pas convergence en probabilité en calculant par exemple .

[Doraki]

zephira, pourquoi tu vas parler de fonction caractéristique pour dire que Yn est convergente en loi ?

MathematicienPoche, ça ne peut pas converger en loi vers la variable aléatoire constante égale à 1/2, parceque par exemple en regardant la probabilité que les machins soient >1/3,
P(1/2 > 1/3) = 1 alors que pour tout n, P(Yn > 1/3) = 1/2.
Or la suite 1/2 ne converge pas vers 1.

[zephira]

car c'est une des définitions de la convergence en loi, et cela me semblait la plus intuitive ici.

[zephira]

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[Doraki]

Ah moi j'ai qu'une seule définition, celle avec P(Xn>a) -> P(Xn>a) pour tout a en dehors des discontinuités de P(Xn>a)

Pour une suite de variables où la loi est discrète et toujours la même (1 chance sur 2 d'avoir 0 et 1 chance sur 2 d'avoir 1), autant ne pas parler de trucs compliqués.

(personnellement j'ai jamais trouvé intuitif les trucs avec les fonctions caractéristiques)

[laya]

personnellement j'ai jamais trouvé intuitif les trucs avec les fonctions caractéristiques

Ben en probas, les fonctions caractéristiques ne représentent qu'une technique de calcul parfois agréable. Si on a fait un peu de traitement du signal et qu'on connait les correspondances entre les domaines fréquentiels et temporels, on peut y trouver une signification mais ce n'est vraiment pas ce qui importe le plus le probabiliste.