Problème preuve de cauchy

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 11:33

Bonjour à tous,

Je suis en première année de fac de maths et j'ai un DM pour vendredi. Seul hic, une récurrence que je n'arrive pas à faire !
Donc si quelqu'un peut m'aider ...
Voici la récurrence a faire (sur m) :

m est un entier naturel et (a1,a2,...,a(2^m)) des reels positifs :

(1/(2^m))*somme de i=1 à 2^m des a(i) >= (produit de i=1 à 2^m des a(i))^(1/(2^m)).

désolé mais je ne sais pas comment ecrire la formule mathématiquement sur le fourm :s
Je précise également que le i de a(i) est un indice.

Merci d'avance et bonne journée a tous !

par **fahr451** » 04 Oct 2007, 11:44

bonjour c'est une inégalité de convexité (dite de jensen) pour la fonction concave ln

inégalité qui peut se démontrer par récurrence le 2^m ne sert à rien remplace le par exemple par n pour la récurrence

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 11:50

mais alors si je raisonne avec n, pour démontrer que P(n+1) est vraie ça me démontrera que P((2^m)+1) est vraie et non P(2^(m+1)) ?? :s

par **fahr451** » 04 Oct 2007, 11:58

ben non une fois que tu l'auras montré par récurrence pour tout n

en particulier ce sera vrai pour les n de la forme 2^m
(remplace les 2^m partout par des n) et montre par récurrence l'intérèt est qu'on rajoute un seul terme pour passer de n à n+1

c'est une inégalité de barycentre le cas crucial est n = 2

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 12:05

ok merci je vais essayer comme ça alors !

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 15:58

j'ai reussi en faisant autrement la récurrence mais maintenant on me demande :

Soit n dans N*.
Montrer qu'il existe m dans N* tq 2^m <= n < 2^(m+1)

Je ne vois pas comment faire car entre 2^m et 2^(m+1) il y a, si je ne me trompe pas, 2^m +1 termes donc nécessairement on peut encadrer n, non ?

par **fahr451** » 04 Oct 2007, 16:26

écris par exemple l'encadrement après passage au ln

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 16:46

comment ça ? :s

par **fahr451** » 04 Oct 2007, 16:47

mln2=
que représente m ?

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 17:10

m est un naturel non nul.

J'ai trouvé une autre methode je pense. Je fais une recurrence sur n
P(n) : " 2^m <= n < 2^(m+1) "

l'initialisation c'est bon.
apres pour montrer au rang n+1 :

Je travaille d'abord sur n< 2^(m+1)
Donc je fais un raisonnement par l'absurde en supposant que n+1>2^(m+1)
j'obtiens n - 2^(m+1) > -1 donc >0.
donc on a n>2^(m+1) => contradiction avec l'hyp de rec.

par contre pour 2^m <= n je ne sais pas si il suffit de dire que comme n et m sont deux naturels non nuls 2^m est nécessairement <= n+1
ou alors il faut que je refasse un petit raisonnement par l'absurde ?

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 17:55

et c'est bon j'ai compris pour ln !! j'avais pas bien reflechi qu'il fallait juste montrer qu'il EXISTE un m.

merci pr l'aide !

par **fahr451** » 04 Oct 2007, 17:56

hum

l'encadrement équivaut par passage au ln à

m=< ln n / ln 2 < m+1
ce qui est exactement la définition de m = partie entière de ln n /ln 2

par **aure7895** » 04 Oct 2007, 18:02

oui c'est finalement ce que j'ai trouvé :)
merci pour ton aide !! :we:

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