Problème prépa ECS 1

[bibilolo]

Bonjour, voici un problème qui me pose problème... Je suis élève en prépa économique et je suis dans les derniers en maths. Pour m'entraîner j'ai récupéré auprès de mon prof des vieux sujets dont celui-ci sur lequel je bloque totalement.
Ce que je recherche c'est de l'aide et non pas que l'on me fasse tout le travail, je veux comprendre!

Voici l'énoncé qui est très long:
On se propose d'étudier lim quand n tend vers + infini de somme de p=1 à n des up
avec un= intégrale de 0 à pi/2 de (xsin(nx)cos^n(x))dx
On pose à cet effet sn= somme de k=1 à n des 1/k et on admet Sn éuivalent à ln n

Partie 1:

On définit fn sur ]0,1] avec fn(t)=(1-(1-*t)^n)/t) et fn(0)=n

1a Montrer que fn continue sur [0,1]

J'ai posé gn(t)=(1-t)^n et observé que -fn(t)=(gn(t)-1)/t=(gn(t)-g(0))/t-0=gn'(t) et je trouve la continuité en faisant lim de fn(t) quand t tend vers 0 qui est égale à fn(0).

b montrer que fn(t)= somme de p allant de 1 à n de (p parmi n).(-t)^(p-1)
Je sais qu'il faut remplacer avec la formule du binôme de newton mais je bloque ensuite sur les calculs...

c On pose In= intégrale de 0 à 1 de fn(t)dt
prouver que in=somme de p=1 à n de (p parmi n).(-1)^(p-1)/p
puis calculer intégrale de 0 à 1 de (1-t)^(k-1) et montrer que In=Sn

2a montrer que intégrale de 0 à pi/2 de (xsin(2px))dx = (pi(-1)^(p+1))/4p

b en remarquant que sin(2px)=Im(e^(i2px) montrer que somme de p=1 à n de (p parmi n).sin(2px)=2^nsin(nx)cos^n(x)
en déduire un =(pi/2^(n+2))Sn

Voila je bloque soit par les calculs, soit car je n'ai pas les résultats précédents...

Partie 2:

Soit f(x)=-ln(1-x) définie sur [0,1[

1 Etudier les variations de phi(t)=(x-t)/(1-t) ( t appartient à [0,x]
et montrer que 0 inférieur à phi inférieur à x

2 Montrer que phi/(1-t)=(x-1)/(1-t)^2 + 1/(1-t)

3 Montrer que f(x)= somme de 1 à n de x^(k)/k + Rn(x) avec Rn(x)= intégrale de 0 à x de ((phi(t))^n)/(1-t)
A mon avis on procède par récurrence? mais je bloque encore une fois dans les calculs...

4 En déduire de 2 que 0 inférieur à Rn(x) inférieur à -x^(n).ln(1-x)

5 a exprimer (1-x).somme de (Sk.x^k)somme pour k de 1 à n en fonction de f(x) Rn(x), Sn et x
b En déduire lim somme de k=1 à n de Sk.x^k puis lim somme de p=1 à n des

Voila encore une fois je veux surtout comprendre, merci d'avance pour le temps que vous me consacrerez

[girdav]

Bonjour,
il faut découper la première difficulté (I.1. a)) en plusieurs petites. Que donne le calcul de avec la formule du binôme?

[bibilolo]

Pour la I1a j'ai réussi.... J'ai édité peut-être après que tu ne t'en sois rendu compte mais merci quand même, d'ailleurs peut-on faire comme j'ai fait?

[girdav]

Pour la I1a j'ai réussi.... J'ai édité peut-être après que tu ne t'en sois rendu compte mais merci quand même, d'ailleurs peut-on faire comme j'ai fait?

En fait je voulais dire la question I 1 b. Pour la première effectivement il faut voir un taux d'accroissement.

[bibilolo]

En fait je voulais dire la question I 1 b. Pour la première effectivement il faut voir un taux d'accroissement.

ok donc c'est bon.
Pour I1 b j'ai commencé à écrire (1-t)^n= somme de k=1 à n de (-t)^(n-k).(k parmi n)
Je remplace dans la formule de fn
d'ou fn = 1- terme que j'ai écrit plus haut le tout /t
*mais ou je bloque c'est pour retomber sur les bornes avec (-t)^(p-1) (ou (k-1) sa change rien
En effet je ne sais pas si je peux dire que diviser par t c'est élever à une puissance -1 pour l'expression dans la somme


EDIT: j'ai réussi 1 1 b

par contre I1 c je comprends pas vraiment pas. Juste sans doute faut dire que intégrale de somme= somme d'intégrale?

[girdav]

Oui, c'est comme multiplier par , et on peut rentrer ça dans la somme. Mais avant, on peut voir que le terme affecté à s'en va avec le devant.

[bibilolo]

Oui, c'est comme multiplier par , et on peut rentrer ça dans la somme. Mais avant, on peut voir que le terme affecté à s'en va avec le devant.

Pour la I1c j'ai fait In = intégrale de la somme de p=1 à n de (p parmi n).(-t)^(p-1)
ensuite j'ai dit que l'intégrale d'une somme c'est la somme des intégrales...

d'ou intégrrale de 0 à 1 de fn(t) dt = somme des intégrales de 0 à 1 de (p parmi n).(-t)^(p-1)
ensuite je peux extraire (p parmi n) qui ne dépend pas de t
ensuite j'ai calculé intégrale de 0 à 1 de (-t)^(p-1)
La primitive je trouve -((-t)^p)/(p)
je calcule l'intégrale et je tombe sur (-(-1)^p)/p
Puis je rouve le résultat.
par contre après j'ai trouvé intégrale de 0 à 1 de (1-t)^(k-1)=(1^k)/k
et je trouve In=Sn
Mais l'intégrale de o à pi/2 de xsin(2px)dxje trouve pas à la question 2a

[bibilolo]

Bonjour,
j'ai réussi la 2a mais je bloque sur la 2b
Et pour la partie 2 j'ai dérivé phi et je trouve phi'=(2x-xt-1)/((1-t)^2)
Mais je voie pas comment conclure

[bibilolo]

J'ai avncé et j'ai fait la partie 2 la question 1 et 2 mais pourriez vous m'aider pour la 3,4,5 s'il vous plait?