Probleme pour une demonstration claire

[thepolodu33]

Bonjour je m'appelle Paul je suis en classe prepa MPSI et j'ai un petit soucis pour comprendre quelque chose: pourquoi concernant les fonctions sin cos et tan les développements limités ne peuvent se faire qu'avec des angles mesurés en radians et pas en degrés?? Je n'arrive pas à établir une demonstration précise faisant apparaitre clairement ce qui empêche de faire un DL en degrés. Si quelqu'un peut m'en faire une je vous remercie d'avance!! :happy2: (car c'est quand même quelque chose qui me preoccupe)

[Nightmare]

Salut :happy3:

Parler en degré en faisant des maths c'est comme parler en francs de nos jours non? :lol3:

Plus sérieusement, quel sens donnes-tu par exemple à la fonction quand x est en degré?
Quel sens donnes-tu à la dérivation quand x est en degré?

On ne travaille pas avec les radians par plaisir mais par obligation.

[Cheche]

Salut Paul,

L'explication est assez simple :
--> Pour tout x, sin1 (x) = sin2 (;)/180 x)

Avec sin1 la fonction sinus en degré et sin2 la fonction sinus en radian.

Or toi, tu ne connais les dérivées des fonctions tangente, cosinus, sinus ... que quand tu travailles en radian.

Donc si tu cherches un développement limité (ce qui n'est pas impossible), tu es obligé :
- de convertir tes fonctions en radian
- pour ensuite les dérivées
- et pour les reconvertir en degré pour obtenir le résultat voulu.

Pour ton développement limité, n'hésite pas à utiliser la formule de Taylor.

Exemple :

Développement limité en 0 de la fonction cosinus en degré :


-> cos1 et sin1 sont les fonctions en radians.







=> Donc ton développement devient :

[yos]

On peut oublier les angles quand on parle de sinus et cosinus. Si tu es en sup, tu as été en première S. Et en première S, on définit le sinus et le cosinus d'un nombre réel et sans aucunement parler d'angle, encore moins de mesure d'angle et encore moins d'unité de mesure d'angle.
Cela se fait avec le cercle trigo et un enroulement (moral) de la droite réelle x=1 sur ce dernier. En sup, on est plus fort (ou immoral) et on parle de l'isomorphisme entre le cercle et R/2piZ.
La moralité tombe encore quand on définit le sinus et le cosinus d'un réel (voire d'un complexe) comme la somme d'une série.
Dans tous les cas, on s'écarte résolument de la géométrie.

[SimonB]

En sup, on est plus fort (ou immoral) et on parle de l'isomorphisme entre le cercle et R/2piZ.

Je doute que les sups qui savent ce qu'est R/2piZ soient la majorité... Sachant que même en spé MP le seul quotient qu'on est censé connaître, c'est Z/nZ...

Ceci dit, les questions sont intéressantes, les problèmes de mesure d'angle et de définition des fonctions trigonométriques sont à mon sens parmi les problèmes les plus difficiles de définitions qui soient.

[yos]

Je doute que les sups qui savent ce qu'est R/2piZ soient la majorité... Sachant que même en spé MP le seul quotient qu'on est censé connaître, c'est Z/nZ...

Même pas besoin d'iso. envoie R sur le cercle et on appelle cos t, sin t les parties réelles, imaginaires de . C'est largement à la portée d'un sup. Mais c'est déjà ce qu'on fait en première S (au langage près encore une fois).

Ceci dit, les questions sont intéressantes, les problèmes de mesure d'angle et de définition des fonctions trigonométriques sont à mon sens parmi les problèmes les plus difficiles de définitions qui soient.

A la rigueur je te suis pour les mesures d'angles, mais pas pour les fcts trigo. Justement parce que la géométrie n'a rien à y faire.