Problème pour réaliser une récurrence

[Akasha]

Bonjour, j'ai un souci pour prouver une relation par récurrence. :

On a une application Delta qui pas de P dans P (ensemble des fonctions polynomiales allant de R dans R) définie lorsque p appartient à P par la relation :
quelquesoit x appartenant à R : delta(p)(x)=p(x+1)-p(x)

Nous avons une suite Nn définie par : N0=1, quelquesoit n appartenant à N*, delta(Nn)=Nn-1 et Nn(0)=0.

On doit démontrer que Nn(x)=1/n! * Produit de k=0 jusqu'à n-1 des (x-k)

Le souci, c'est que si l'on suppose Nn vraie, pour démontrer Nn+1 on y arrive pas puisque qu'on a aucune relation entre Nn+1(x+1) et Nn+1(x).

Si quelqu'un pouvait m'aider, Merci.

PS : pour le sujet (au cas où vous ne comprenez pas tout) voici le lien : http://aphec.it-sudparis.eu/concours/sujets/sujet-math/essec/essec_2008_S_1.pdf

[L.A.]

Bonjour.

Il suffit de montrer que pour tout polynôme P, il existe un unique polynôme Q vérifiant delta(Q) = P et Q(0) = 0

puis de montrer que la suite Nn vérifie delta(Nn) = Nn-1, Nn(0) = 0 pour tout n>=1, et N0 = 1

[Akasha]

D'accord, ben en fait c'est tout simple.

Merci beaucoup.

D'ailleurs, j'ai un autre souci dans ce problème, comment on peut déterminer les fonctions polynomiales P vérifiant la relation quelquesoit x appartenant à R, P(x+1)-P(x)=Q(x), sachant que Q= somme de n=0 jusqu'à + l'infinie de (delta^n)(Q)(0)Nn ?

[L.A.]

Je n'ai pas bien compris ce qu'on sait sur Q : si c'est une série ce n'est plus un poynome.

Mais on peut penser au fait que delta est linéaire, si on trouve un Pn tel que delta(Pn) = X^n, alors un polynome combinaison des X^n sera = delta(même combinaison des Pn).