Problème pour encadrer une suite

[nightbaron]

Bonjour, donc voila j'ai cette suite (Un)


et en se servant de

il faut montrer que Un---> ln(2) lorsque n tend vers l'infini

j'ai essayé de la tourner dans tous les sens mais je n'arrive pas à encadrer cette maudite suite, donc si quelqu'un pourrai m'élucider , merci d'avance

[fahr451]

bonjour
notant Sn la suite

1/(n+k) >= ln ( n+k+1) - ln (n+k)

et en sommant pour k = 1 à k = n on obtient

Sn >= ln ( n+n+1) - ln (n+1) = ln[ ( 2n+1)/(n+1)] qui tend vers ln 2 ( somme télescopique)
de même
1/(n+k) =< ln (n+k) - ln (n+k-1)

et en sommant

Sn =< ln (n+n) - ln (n) = ln 2

et le résultat par encadrement

[mathelot]

Sinon , cette somme est une somme de Darboux inférieure de l'intégrale


Il y a rien à faire donc.

[fahr451]

autrement dit ici une somme de riemann "méthode des rectangles à droite"
et pourquoi pas la différence de deux sommes partielles de la série harmonique dont tout le monde connait le développement asymptotique ...

[nightbaron]

Merci bien je vois mieux, c'est vrai que je n'avais pas pensé à sommer les termes..