Problème pour déterminer des points stationnaires

[Slataper]

Bonjour à tous,

Je viens vers vous car j’ai un gros souci avec un exercice. J’ai la fonction f(x)= x1^(3) + x1^(2) – x1x2 + x2^(2) et je dois déterminer les points stationnaires de cette fonction.

J’ai donc commencé par déterminer le gradient [grad f](x) = (3x1^(2) + 2x1 – x2 , -x1 + 2x2)

Puis j’ai voulu résoudre le système :
3x1^(2) + 2x1 – x2 = 0
-x1 + 2x2 =0

Cependant, dans la correction de l’exercice, le système à résoudre est :
3x1^(2) + 2x1 – x2 = 0
-x1 + 2x2 = 0
x1= 2x2= 0

Or, je ne comprends pas du tout pourquoi on rajoute cette troisième équation, même si j’en comprends le sens.

J’ai essayé de résoudre le système comme ceci :
3x1^(2) + 2x1 – x2 = 0
-x1 + 2x2 =0

Equivaut :
3[2x2^(2)] + 2(2x2) – x2 = 0
x1 = 2x2

Equivaut :
12x2^(2) + 3x2 =0
x1 = 2x2

Equivaut :
3x2[4x2^(2) + 1] = 0
x1 = 2x2

Mais ça ne donne rien qui vaille. Je sais qu’il y a deux couples de points stationnaires (0,0) et (-0,5 ; -0,25) mais je n’arrive pas à retomber sur mes pattes. Pourriez-vous m’éclairer ? :)

[Ben314]

Salut,
Si ta fonction est bien (met toi au MimeTeX, c'est moins c... à lire)

alors

Et les points stationnaires sont effectivement ceux vérifiant
qui est relativement simple à résoudre vu que la deuxième équation te donne donc la première équation équivaut à dont les solutions sont () et ()

[Slataper]

Salut et merci de ta réponse

En fait je n'arrive pas du tout à comprendre comment tu trouves les deux valeurs de .

J'ai essayé de résoudre comme un polynôme du seconde degré, ce qui me donne et mais cela est faux puisque ça ne respecte pas

[Ben314]

J'ai essayé de résoudre comme un polynôme du seconde degré, ce qui me donne et mais cela est faux puisque ça ne respecte pas

Si tu commence à sortir du pour résoudre un truc pareil, c'est mal barré :--:
(Mais tu devrais quand même trouver les bonnes valeurs : tu as du te gourer dans la formule donnant les racines d'un polynôme du second degré...)

Là, c'est niveau collège vu que la factorisation est triviale : est nul ssi un des deux facteurs est nul.

Aprés, les deux solutions de ton équation, c'est vraiment pas malin du tout de les appeler et vu que ces deux symboles sont déjà utilisés pour autre chose dans l'énoncé.
Si tu veut absolument leur donner un nom (ce qui, vu le contexte ne sert à rien), appelle les et par exemple ou bien "toto" et "tutu", mais ne reprend pas un symbole qui sert déjà dans l'énoncé !

[Slataper]

Là, c'est niveau collège vu que la factorisation est triviale : 12x_2^2+4x_2-x_2=3x_2(4x_2-1) est nul ssi un des deux facteurs est nul.

Voui, en fait pour (0,0) j'ai compris, par contre je ne vois pas du tout comment on arrive à trouver
(-1/2 , -1/4) :hein:

Enfin logiquement je comprends mais je ne vois pas comment on arrive mathématiquement à ce résultat.

[chan79]

Là, c'est niveau collège vu que la factorisation est triviale : est nul ssi un des deux facteurs est nul.

!

salut
Dans la parenthèse, c'est
ce qui donne bien:

[Slataper]

Ah oui d'accord j'ai compris.

Merci beaucoup à vous tous :)