Problème ouvert

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qaterio
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Problème ouvert

par qaterio » 18 Oct 2018, 21:25

Bonjour,
Soit f une fonction continue et dérivable. Sa dérivée peut-elle être discontinue en tout
point ?
Je veux simplement qu'on m'explique les termes en assertions et ce qu'ils veulent dire (vu la formulation, je dirais qu'il faut le faire par contraposée).
Merci d'avance.



aviateur
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Re: Problème ouvert

par aviateur » 18 Oct 2018, 22:00

qaterio a écrit:Je veux simplement qu'on m'explique les termes en assertions et ce qu'ils veulent dire (vu la formulation, je dirais qu'il faut le faire par contraposée).

Qu'est que cela veut dire?
Sinon la réponse à ta question est là
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_continue_nulle_part_d%C3%A9rivable

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Ben314
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Re: Problème ouvert

par Ben314 » 18 Oct 2018, 22:06

Salut,
J'ai pas bien comprise la question concernant une "explication des termes en assertions".

Par contre la question mathématique : "Soit f une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I. Sa dérivée peut-elle être discontinue en tout point de I ?", je la comprend bien et la réponse est NON.
Le théorème de la limite simple de Baire te dit que la dérivée est forcément continue sur un "ensemble dense", c'est à dire que dans tout intervalle, aussi petit soit-il, il y aura au moins un point où la dérivée est continue (c'est même un peu plus fort que ça : l'ensemble des points de continuité est même "comaigre", mais c'est un peu plus compliqué d'expliquer ce que ça signifie)

EDIT : J'avais pas vu le message d'aviateur quand j'ai écrit le mien. Et si on répond ne pas la même chose, c'est qu'il n'a pas compris la question de la même façon que moi.
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qaterio
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Re: Problème ouvert

par qaterio » 18 Oct 2018, 22:22

Ce que je veux dire par "en assertion" par exemple, un nombre n est pair en assertion ça donne il existe k appartenant à Z tel que n=2k.
Faut surtout pas que je regarde les solutions parce que sinon c'est certain que je vais être inspiré, s'ils soupçonnent du plagiat de preuve, ils mettent 0 (c'est un travail de groupe, trinôme, on a deux mois pour trouver une démonstration d'un problème ouvert, ou alors d'un énoncé plus faible).
Du coup, comment on écrit discontinue avec des pour tout et il existe etc. ?

aviateur
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Re: Problème ouvert

par aviateur » 18 Oct 2018, 22:29

Oui j'ai mal lu.
Donc mon lien permet de dire que des fonctions f de dérivées continues sur R (i.e classe C^1 sur R) peuvent être telle que f' est dérivable nulle part. Mais c'est pas la question.

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Ben314
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Re: Problème ouvert

par Ben314 » 18 Oct 2018, 22:31

qaterio a écrit:Du coup, comment on écrit discontinue avec des pour tout et il existe etc. ?
Ben tu écrit ce que c'est que "être continue en xo" pour une fonction f avec des quantificateurs (ça c'est direct dans ton cours) puis... tu écrit la négation.

Et concernant la question telle que tu l'a posée : "existe-t-il f dérivable sur I avec f' nulle part continue", j'ai un peu des doutes que tu puisse "plagier" la preuve classique qui utilise la théorie de Baire : il y a très longtemps, on voyait éventuellement ça en fin de Licence (la L3 actuelle), mais aujourd'hui, je suis même pas sûr que ce soit encore fait en M1 et je pense même qu'il y a pas mal de M2 où c'est pas fait non plus (tout dépend de la spécialité).
Et si tu as jamais fait de topologie générale (je pense que c'est ton cas), je pense pas bien que tu puisse comprendre de quoi ça parle : avec beaucoup d'efforts, on pourrait essayer de simplifier la théorie en ne parlant que de R, (il n'y a besoin que de ça ici), mais même dans ce cas là, ça risque d'être on ne peut plus chaud (faut aussi avoir bien compris la notion de dénombrabilité et ce qui va avec...)
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qaterio
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Re: Problème ouvert

par qaterio » 18 Oct 2018, 22:54

Au 2ème semestre j'ai une initialisation à la topologie en module, mais c'est un peu tard. J'ai un choix à faire parmi 46 problèmes alors je vais en choisir un autre si ça demande des connaissances qui me sont inaccessible à l'heure actuelle, l'idéal ce serait de montrer le problème initial, je vais pas montrer un énoncé faible.
Y'a un des problèmes c'est: Peut-on tracer une droite qui coupe en deux moitiés égales l'aire et le périmètre d'un triangle ? Bien sûr, ils attendent certainement pas qu'on trace juste une droite, mais qu'on généralise les conditions que doit avoir la droite. Lui j'y ai réfléchi pendant 2 heures pour me faire un plan d'attaque, et j'aimerais savoir si ça a une chance de fonctionner:
1- Déjà le triangle, on le place dans un repère orthonormé direct et on prolonge ses côtés pour les représenter par des droites f1(x)=a1.x+b1,f2(x)=a2.x+b2 et f3(x)=a3.x+b3.
2. On cherche les intersections de chacune des droites afin de déterminer les conditions sur a1,a2,a3 et b1,b2,b3 pour que l'ensemble des points (x, Yj) vérifient Yj>f1(x), Yj>f2(x) et Yj<f3(x) et qu'il soit non vide.
3. On introduit une nouvelle droite g(x)=m.x+c vérifiant la propriété qu'on cherche et on montre qu'alors g(x) différent de f1(x),f2(x) et f3(x).
4. On montre que si g(x) passe par l'une des intersections de deux des trois droites f1(x),f2(x),f3(x) alors g(x) admet deux intersections avec ces droites dont l'une avec multiplicité.
Maintenant partie qui me semble un peu plus compliquée, j'ai pas trop détaillée car j'attend d'avoir montré tout ce qu'il y avait précédemment:
5. On détermine l'aire sous/sur la droite g(x) dans le triangle en intégrant avec des bornes adaptés (j'attend d'en arriver là avant de chercher les bornes). Soit I1 et I2 ces intégrales.
6.On détermine le périmètre du triangle de part et d'autre de g(x) (avec un enchaînement de théorème de Pythagore, là encore c'est assez obscure car j'en suis pas à là, je me suis juste fais un plan de démonstration qui me semble pas trop mal....)
7. On détermine les paramètre m et c de la droite g(x) tel que I1=I2 et P1=P2.

Et on montre, ça dépendra du résultat, s'il y a unicité de la représentation ou non.

C'est pas trop mal ? Si je montre chaque point, est-ce que ça suffit à la généralisation, ai-je oublier quelque chose de primordial? Ai-je dit n'importe quoi à un moment ?

Merci de m'éclairer.

aviateur
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Re: Problème ouvert

par aviateur » 19 Oct 2018, 07:23

Bonjour ici je suis sur smart phone et je n ai peut être pas bien tout lu alors ma réponse vaut ce qu elle vaut
Il me semble que ce que tu poses est correct mais les calculs risquent d être compliqués alors dans ce genre d exo je chercherai une autre méthode avant de me lancer dans ces calculs
À mon avis la solution doit passer par un argument de continuité

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Ben314
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Re: Problème ouvert

par Ben314 » 19 Oct 2018, 08:45

Je pense comme aviateur que ça serait infiniment plus joli de commencer par quelques argument "bien plus généraux" (et sans le moindre calcul) permettant de montrer qu'il y a forcément au moins une solution (et pas que dans le cas des triangles : tu prend n'importe quelle "forme" du plan telle qu'on puisse définir sans trop de problème la notion de périmètre et de surface et tu peut montrer qu'il y a forcément au moins une solution au problème)
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Re: Problème ouvert

par qaterio » 19 Oct 2018, 11:16

Ok merci, déjà pour un triangle isocèle,c'est pas trop compliqué, il suffit de tracer une médiane. Je vais y réfléchir.

 

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