Problème de minimisation

[maelis29]

Bonjour, je rencontre des difficultés à résoudre le problème suivant:

soient
est le quadrant des n-uplet à coefficient positif tous non nul

et A une matrice symétrique carrée définie positive.
On note u*v le produit d'hadamard et
Soit = { }
et la fonction numérique définie sur suivant
;

(1) Montrer qu'il existe m>0, dependant de A seulement, tel que



(2)En déduire que , cette borne inférieur étant atteinte en un point de minimum

(3)Introduire un lagrangien associé au problème de minimisation de et établir les relations vérifiées par tout minimum de

(4)Montrer qu'il existe un

(5) En considérant la matrice
montrer que la condition A définie positive n'est pas nécessaire pour l'existence d'une solution de l'équation



Je voudrais savoir si ce que j'ai fais pour le début est correcte et avoir des pistes pour les autres questions

(1) montrer que

avec

montrer que

=>

De plus car
et puisqu'il existe au moins un pour pouvoir vérifié l’inégalité

le problème c'est que j'utilise alors que je dois montrer pour

[aviateur]

A la première lecture je rencontre déjà plusieurs pb.
D'abord qu'est ce que veut dire R_{++}? et |alpha|=? (x) ^(-1)=1/X_i.
Ensuite ||x||_infty^2==max(|x_i|) ^2 : le carré est mal placé.

Puis 0<=m<=min(A_ij) peut donner m=0 pour certaines matrices sdp

[maelis29]

Oui, désolé j'ai en effet oublié quelques infos et fait des fautes de recopiages, c'est corrigé.

[aviateur]

R_{++} qu'est ce cela veut dire?
De tout façon, il y a des matrices sym. def pos. qui admettent des coefficients nuls et aussi négatifs
donc min(A_ij) n'a aucune raison d' e^tre positif.

[maelis29]

c'est le quadrant des n-uplet à coefficient positif tous non nul.
La notion de quadrant je ne comprends pas vraiment à quoi ça correspond.
c'est vrai que A_{ij} peut être négatif mais donc ça peut être négatif et est tout le temps positif alors comment on pourrait avoir ?

[aviateur]

Je connais pas votre niveau, vous êtes en quelle formation. Est ce que l'on peut parler de valeurs propres?

[aviateur]

De même, Pour vous aider à résoudre cette première question est ce que vous savez ce que sont des normes équivalentes?

[maelis29]

oui, on peut parler de valeur propre je suis en 1ere année de master en maths, je connais également la notion de norme equivalentes.

[aviateur]

Dans ce cas,
A est symétrique donc diagonalisable ds une b.o.n, soit (e_1,...,e_n) cette base et

les v.p correspondantes. Soit (x_i).... les coordonnées de x dans cette base. Alors


D'où

Puis on finit car les normes en dim finie sont équivalentes.

[maelis29]

D'accord j'ai compris!
La deuxième partie de la question 1 que j'ai fais est juste ou c'est une erreur d'utiliser le faite que ?

[aviateur]

La deuxième inégalité me semble simple. Partez du nombre inférieur, élevé à la puissance `|\alpha|, et utliser x_i<=x_max

[maelis29]

il reste a montrer que

[aviateur]

non, tout simplement

Puis élever à la puissance

[maelis29]

oui, en effet merci
la question (2) est assez évidente.
pour la (3) le lagrangien est
avec
<=>
<=>
<=>

[Ben314]

Salut,
Juste une (petite) question : tu répond comment à la question "évidente" (2) ?

[maelis29]

(2)
pour donc

d'ou

[Ben314]

Vu sous cette angle là, O.K. : le premier morceau de la question est effectivement "évident" (j'avais même pas pensé à y répondre...).
Par contre il y a aussi l'autre morceau de la question :

(2)En déduire que , cette borne inférieur étant atteinte en un point de minimum

[maelis29]

donc la borne inférieur est atteinte en un point de minimum qui vérifie

[aviateur]

Pour l'équation avec le lagrangien, cela me semble correct (modulo l'écriture avec la ( ) ).
Par contre pour la question (2) je crois comprendre qu'il faut monter l'existence d'un x_0 ds D_\alpha
t.q J_A(x_0)=m.

[Ben314]

donc la borne inférieur est atteinte en un point de minimum ????? qui vérifie

Personnellement, je ne vois nulle part quoi que ce soit qui ressemble, même vaguement, à un début de preuve concernant le fait que .
Et même si c'était le cas, je ne vois nulle part non plus un quelconque argument concernant le fait que cette Inf (= borne inférieure) est en fait un Min (= elle est effectivement atteinte).
J'espère au moins que tu fait bien la différence entre ces deux notions de borne inférieure et de minimum.

Et je rajouterais même que, si tu regarde d'où provient (au niveau des calculs) le en question, il est plus que probable que soit strictement plus grand que le .