Probleme de math!

[amandine1806]

Hello !! :cry:

J ai besoin de votre aide pour resoudre un pb dans le cadre d une prepa au concour iufm. voici le pb :
Soit le nombre 712712 . la division de 712712 par 13 donne un quotient Q1 et reste R1. La division de Q1 par 11 donne Q2 et R2.La division de Q2 par 7 donne Q3 et R3.
a) Q3 etait il previsible?
b) les restes R1 R2 et R3 etaient ils previsibles?
:hum:
Je ne voit pas par ou commencer, je crois que cela tourne autour des nombres premiers et des diviseurs et tout àa, mais je n ai pas du tout l esprit math et j ai pas le declic.... Svp aidez moi ! :mur:

[maf]

Hello ... je suppose qu'on peut trouver par ça :

13*11*7 = 1001

quand on a un nombre avec une centaine, celui-ci multiplié par 1001 donne deux fois ce nombre d'affilée ... par exemple : 101*1001 = 101101 etc ...

donc ... 712 = Q3

puisque ça se divise bien ... on peut en déduire directement que R1=R2=R3 = 0 !

[amandine1806]

je ne comprend pas trop ton raisonnement en fait ... j ai calculer cela donne
q1= 237570 et R1= 2
Q2 21597 et R2 3
Q3 3085 et R3 2

cela ne colle pas avec ton raisonnement je crois! :hein:

[maf]

712712 : 13 = 54824 = Q1 ... donc reste : R1 = 0

54824 : 11 = 4984 = Q2 ... donc reste : R2 = 0

4984 : 7 = 712 = Q3 ... donc reste : R3 = 0

[maf]

le premier ... c'est divisé par 13 !! et non pas par 3 !!

[amandine1806]

olala tu vois je suis a l ouest lol...
donc en fait, comme on a diviser succesivement 712712 par 13 11 et 7, il etait previsible que Q3 soit 712 car tt nombre multiplié par 1001 double ses chiffres (fin on se comprend!)? c est sa? mais comment on pouvait prevoir que les reste ferait 0 ? c peut etre bete comme question desolé c est pas mon fort.
Et le truc de 1001 c est une sorte de verité generale quoi ? :help:

[maf]

On se comprend bien ... mais pour cela, il faut que le nombre soit compris entre 100 et 999 pour que cela marche avec 1001 qui double les nombres ...

Donc ... on a si on est bien d'accord ... 7*11*13 = 1001

Mais en faisant directement 712712 divisé par 1001 = 712 ce qui était prévisible ...

puisqu'on a pas de reste pour le dernier, cela veut dire qu'on a pas eu de restes dans les divisions intermédiaires !!

[maf]

si par exemple on a un nombre entre 10 et 99, on a la même chose si on multiplie par 101

idem pour de 1000 à 9999 en multipliant par 10001

et ainsi de suite ...

[amandine1806]

merci infiniment je n aurais jamais trouvé cela seule !!! :we:

Bonne soirée MaF! ! ! :++:

[maf]

Encore une petite chose du pourquoi du comment :-)

Comment voir que les restes sont nuls ...

13*Q1 + R1 = 712712
11*Q2 + R2 = Q1
7*Q3 + R3 = Q2

en remplaçant dans chaque equation les quotiens, on obtient :

13*(11*(7*Q3 + R3) + R2)+R1 = 712712

si on développe, on a : 13*((77*Q3 + 11*R3)+R2)+R1 = 712712
1001*Q3 + 143*R3 + 13*R2 + R1 = 712712

admettons 143*R3 + 13*R2 + R1 = R4 (un quelconque reste ...) puisqu'il 'agit de somme de restes ...

donc ... 1001*Q3 + R4 = 712712 ... mais comme 1001*712 = 712712 comme on l'a vu avant ... R4 = 0 ... mais comme R1, R2 et R3 sont obligatoirement des nombres positifs ou nuls, la seule solution est la solution triviale : R1 = R2 = R3 = 0