Problème d'integration

[boy63]

Bonjours a tous,

Je suis devant un problème d'intégration que je n'arrive pas a résoudre donc si vous pouviez me donner un coup de pouce ça serait très gentil.
Voila mon équation que je dois résoudre:

F'''=-(A*Re/4)*(F^2)''.
avec A et Re des constantes.

Je pense qu'il faut faire un changement de variable mais je ne vois pas lequel.

Merci d'avance pour vos réponses.

[maturin]

tu dois déjà pouvoir intégrer deux fois.

si g'=a*f' alors g=af+cte

[JJa]

Bonjour,

je suppose que A et Re sont des constantes (cette indication essentielle manque dans l'énoncé).
Simplifions l'écriture en posant k=-A*Re/4
F''' = k*(F²)''
F'''-k*(F²)''=0
(F''-k*(F²)')'=0 que l'on intègre :
(F''-k*(F²)')=C1
C1=constante quelconque.
(F'-k*F²)'=C1 que l'on intègre :
F'-k*F²=C1*x+C2
ceci en supposant que la variable est x car l'énoncé est incomplet : il n'y est pas dit quelle est la variable de la fonction F(?).
C2= une constante quelconque.
On est ramené à une EDO de Riccati :
F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0
Si des conditions aux limites sont connues (non indiqué dans l'énoncé), il est possible que C1 et/ou C2 puisse(nt) être calculée(s), ce qui peut éventuellent aider à la résolution.

[maturin]

alors juste à la décharge de boy63:

Re et A sont bien des constantes et c'est bien dans l'énoncé.

La variable n'est pas proposée mais quand tu travailles sur l'ensemble des fonctions g=af ssi pour tout x, g(x)=af(x).
Donc son équation est bien écrite.

par contre on a pas le droit d'écrire F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0
mais plutot
F'(x)-k*F²(x)-(C1*x+C2) = 0

à partir du moment omù tu choisis une variable il faut la mettre partout.

[Black Jack]

alors juste à la décharge de boy63:

Re et A sont bien des constantes et c'est bien dans l'énoncé.

La variable n'est pas proposée mais quand tu travailles sur l'ensemble des fonctions g=af ssi pour tout x, g(x)=af(x).
Donc son équation est bien écrite.

par contre on a pas le droit d'écrire F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0
mais plutot
F'(x)-k*F²(x)-(C1*x+C2) = 0

à partir du moment omù tu choisis une variable il faut la mettre partout.

Je ne vois rien de répréhensible à l'écriture de JJa, même s'il faut "deviner" que x est la variable par rapport à laquelle les dérivées sont faites.

Par exemple, on voit souvent des écritures comme y' + 2y = x² + 2
Et cela ne choque personne car il n'y a guère d'ambiguïté possible dans de tels cas.

L'écriture y' + 2y = x² + 2 est une manière simplifiée (pour ne pas surcharger) de y'(x) + 2y(x) = x² + 2

Evidemment, si une confusion est possible (par exemple si plusieurs variables existe dans l'équation), alors il est impératif de préciser la variable par rapport à laquelle on dérive.

:zen:

[JJa]

Ces questions de notations, ce n'est pas très grave. L'essentiel est de donner un coup de pouce à boy63.
A partir de l'équation de Riccati, la méthode de résolution est classique. Mais on peut rencontrer des difficultés selon les valeurs de C1 et C2. Pour certaines valeurs particulières de C1 et/ou C2, le problème se simplifie. Mais dans le cas général (C1 et C2 quelconques), il va falloir faire appel aux fonctions de Bessel, ou aux fonctions d'Airy.

[maturin]

ben jja a noté des pb de notations alors qu'il n'y en avait pas.
et ben moi j'ai fait pareil par solidarité on va dire ;)

[JJa]

Bonjour Maturin,

c'est très bien d'être solidaire. J'espère que tu vas aussi l'être pour aider boy63 à arriver jusqu'au bout de la résolution. Comme cela je n'aurai pas à le dactylographier (J'avoue humblement appartenir à la confrérie des partisants du moindre effort ! ).
Encore un petit coup de pouce : Pour résoudre l'équation de Riccati
F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0
on pose F = G'/(k*G)
avec F=F(x) et G=G(x) bien entendu.
De cette façon on est ramené à une EDO linéaire du second ordre dont les solutions sont connues.

[JJa]

Bonjour,

je m'apperçois que Maturin n'a pas donné la suite de la résolution. Il était certainement capable de le faire. Mais, peut-être est-il absent ce week-end. Ou peut-être fait-il, lui aussi, partie de la "confrérie des partisants du moindre effort". Dans ce dernier cas, mon cher confrère, il faut que je me dévoue. Voici donc la suite :

F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0

Cas particulier le plus simple : C1=C2=0
F'-k*F²=0
F'/(k*F²) = 1
-1/(k*F) = x+c
avec c = constante quelconque
F(x) = -1/(k(x+c)) = 4/(A*Re*(x+c))
Ceci fourni donc une première famille de solutions (dont , à-priori, on pouvait deviner la forme à la simple vue de l'équation initiale).

Dans le cas général, C1 et/ou C2 non nul(s), on fait le changement de fonction :
F = -G'/(k*G)
F' = -G''/(k*G)+(G')²/(k*G²)
-G''/(k*G)+(G')²/(k*G²) -k*( G'/(k*G))² -(C1*x+C2) = 0
-G''/(k*G)-(C1*x+C2) = 0
G''-k*(C1*x+C2)*G = 0

Cas où C1=0 :
G''-k*C2*G = 0
que l'on peut écrire : G''+w²*G=0 ou G''-w²*G=0 selon le signe de (-k*C3)
Selon le cas, les solutions sont :
G(x)=C4*cos(w*(x+c))
ou G(x)=C4*ch(w*(x+c))
avec C4 , w et c : constantes. La constante C4 s'élimine plus loin dans le rapport G'/G. Par suite, avec F=-G'/(k*G) on obtient :
F(x) = (1/k)*tg(w*(x+c)) = (-4/(A*Re))*tg(w*(x+c))
ou F(x) = (-1/k)*th(w*(x+c)) = (4/(A*Re))*th(w*(x+c))
ceci fourni deux autres familles de solutions.

Cas où C1 est différent de zéro :
On fait le changement de variable X = (C1*x+C2)
dX = C1*dx
d²G/dx² = (C1)²(d²G/dX²)
d²G/dX²+(-k/(C1)²)*X*G = 0
(-k/(C1)²) est positif car k est négatif. Posons :
K = ((-k)^(1/2))/C1
d²G/dX²+(K²)*X*G = 0
C'est une équation d'Airy. Toutefois, les fonctions de Bessel étant plus couramment utilisées que les fonctions d'Airy, nous les préfèreront pour répondre ici :
G(X) = C3*(X^(1/2))*J((1/3) ; t) + C4*(X^(1/2))*J((-1/3) ; t)
dans laquelle : C3 et C4 sont des constantes, t = (2K/3)*(X^(2/3))
J((1/3) ; t) et J((-1/3) ; t) sont les fonctions de Bessel de première espèce et d'ordres (1/3) et (-1/3) respectivement.

En principe, le problème est résolu. Toutefois, ce n'est pas fini car il reste encore une dernière partie de calcul pénible :
- Revenir à G(x) avec t = (2K/3)*(X^(2/3)) et X = C1*x+C2
- Revenir à F(x) en calculant G'(x) puis F = -G'/(k*G)
- Reporter ce résultat dans l'équation F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0 et établir la condition sur les constantes C3 et C4. En effet, le passage de l'équation de Riccati à l'EDO linéaire du second ordre introduit des solutions supplémentaires non viables qu'il faut éliminer.
Ainsi on arrivera finalement la solution générale de l'équation initiale avec trois constantes quelconques (et non quatre) : C1, C2 plus une constante puisque C3 et C4 ne sont pas indépendants.
Toutefois, puisque le principal intéressé (boy63) n'a pas donné signe de vie et en particulier n'a pas répondu aux interrogations sur ce qu'il savait (ou non) des conditions aux limites, je m'arrête à ce stade sans détailler la dernière partie.
En effet, il est possible que les solutions particulières déjà explicitées : du genre F(x) = 4/(A*Re*(x+c)) ou du genre F(x) = (-4/(A*Re))*tg(w*(x+c)) ou F(x) = (4/(A*Re))*th(w*(x+c)) suffisent pour faire le bonheur de boy63. Il n'a peut-être pas besoin de la formulation générale des solutions, au quel cas, ce serait un travail inutile que d'aller jusque là.
Bien entendu, tout ceci est à vérifier par vous-même : il pourrait y avoir une erreur, nul n'étant à l'abri d'une faute d'inattention.

[JJa]

Bonjour,

Je m'aperçois que Maturin n'a pas donné la suite de la résolution. Il était certainement capable de le faire, mais peut-être est-il absent ce en week-end. Ou peut-être fait-il, lui aussi, partie de la "confrérie des partisans du moindre effort". Dans ce dernier cas, mon cher confrère, il faut que je me dévoue. Voici donc la suite :

F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0

Cas particulier le plus simple : C1=C2=0
F'-k*F²=0
F'/(k*F²) = 1
-1/(k*F) = x+c
avec c = constante quelconque
F(x) = -1/(k(x+c)) = 4/(A*Re*(x+c))
Ceci donne donc une première famille de solutions de l'équation.

Dans le cas général, on fait le changement de fonction :
F = -G'/(k*G)
F' = -G''/(k*G)+(G')²/(k*G²)
-G''/(k*G)+(G')²/(k*G²) -k*( G'/(k*G))² -(C1*x+C2) = 0
-G''/(k*G)-(C1*x+C2) = 0
G''-k*(C1*x+C2)*G = 0

Cas particulier : C1=0 , soit G''-k*C2*G = 0
Selon le signe de (-k*C2), on peut écrire : w² = -k*C2 ou w² = k*C2 donc
G''+w²*G = 0 ou G''-w²*G = 0
Ce qui conduit a :
G(x) = C3*cos(w*(x+c)) ou G(x) = C3*ch(w*(x+c))
La constante C3 s'élimine ensuite dans F=-G'/(k*G) :
F(x) = (1/k)*tg(w*(x+c)) = (-4/(A*Re))*tg(w*(x+c))
ou F(x) = (-1/k)*th(w*(x+c)) = (4/(A*Re))*th(w*(x+c))
dans lesquels w et c sont des constantes quelconques.
Ceci donne deux autres familles de solutions.

Dans le cas où C1 n'est pas nul, on fait le changement de variable suivant :
X = (C1*x+C2)
dX = C1*dx
d²G/dx² = (C1)²(d²G/dX²)
d²G/dX²+(-k/(C1)²)*X*G = 0
(-k/(C1)²) est positif car k est négatif. Posons :
K = ((-k)^(1/2))/C1
d²G/dX²+(K²)*X*G = 0
C'est une équation d'Airy. Toutefois, les fonctions de Bessel étant plus couramment utilisées que les fonctions d'Airy, nous les préfèreront pour répondre ici :
G(X) = C3*(X^(1/2))*J((1/3) ; t) + C4*(X^(1/2))*J((-1/3) ; t)
dans laquelle : C3 et C4 sont des constantes, t = (2K/3)*(X^(2/3))
J((1/3) ; t) et J((-1/3) ; t) sont les fonctions de Bessel de première espèce et d'ordres (1/3) et (-1/3) respectivement.
Remarque typographique : normalement, on devrait écrire l'ordre (1/3) ou (-1/3) en indice.

En principe, le problème est résolu. Toutefois, ce n'est pas fini car il reste encore une dernière partie de calcul pénible :
- Revenir à G(x) avec t = (2K/3)*(X^(2/3)) et X = C1*x+C2
- Puis revenir à F(x) en calculant G'(x) puis F = -G'/(k*G)
- Reporter ensuite ce résultat dans l'équation F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0 et établir la condition sur les constantes C3 et C4. En effet, le passage de l'équation de Riccati à l'EDO linéaire du second ordre introduit des solutions supplémentaires non viables qu'il faut éliminer.
Ainsi, on arrivera finalement à la solution générale de l'équation initiale avec trois constantes quelconques (et non quatre) : C1, C2 plus une constante (et non deux) puisque C3 et C4 ne sont pas indépendants.
Toutefois, puisque le principal intéressé (boy63) n'a pas donné signe de vie (en particulier il n'a pas répondu aux interrogations sur ce qui est connu des conditions aux limites ou de conditions particulières permettant de déterminer les constantes), je m'arrête là sans détailler cette dernière partie. En effet, il est possible que l'une ou l'autre des solutions particulières déjà trouvées :
F(x)= 4/(A*Re*(x+c))
ou F(x)=(-4/(A*Re))*tg(w*(x+c))
ou F(x)= (4/(A*Re))*th(w*(x+c))
suffise à boy63 pour faire son bonheur. Il n'a peut-être pas besoin de la solution générale complètement explicitée. Ce serait du travail inutile que de continuer dans ces conditions.
Bien entendu, tout ceci est à vérifier par vous-même : nul n'est à l'abri d'une faute d'inattention.

[JJa]

Bonjour,

Je m'aperçois que Maturin n'a pas donné la suite de la résolution. Il était certainement capable de le faire, mais peut-être est-il absent ce en week-end. Ou peut-être fait-il, lui aussi, partie de la "confrérie des partisans du moindre effort". Dans ce dernier cas, mon cher confrère, il faut que je me dévoue. Voici donc la suite :

F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0

Cas particulier le plus simple : C1=C2=0
F'-k*F²=0
F'/(k*F²) = 1
-1/(k*F) = x+c
avec c = constante quelconque
F(x) = -1/(k(x+c)) = 4/(A*Re*(x+c))
Ceci donne donc une première famille de solutions de l'équation.

Dans le cas général, on fait le changement de fonction :
F = -G'/(k*G)
F' = -G''/(k*G)+(G')²/(k*G²)
-G''/(k*G)+(G')²/(k*G²) -k*( G'/(k*G))² -(C1*x+C2) = 0
-G''/(k*G)-(C1*x+C2) = 0
G''-k*(C1*x+C2)*G = 0

Cas particulier : C1=0 , soit G''-k*C2*G = 0
Selon le signe de (-k*C2), on peut écrire : w² = -k*C2 ou w² = k*C2 donc
G''+w²*G = 0 ou G''-w²*G = 0
Ce qui conduit a :
G(x) = C3*cos(w*(x+c)) ou G(x) = C3*ch(w*(x+c))
La constante C3 s'élimine ensuite dans F=-G'/(k*G) :
F(x) = (1/k)*tg(w*(x+c)) = (-4/(A*Re))*tg(w*(x+c))
ou F(x) = (-1/k)*th(w*(x+c)) = (4/(A*Re))*th(w*(x+c))
dans lesquels w et c sont des constantes quelconques.
Ceci donne deux autres familles de solutions.

Dans le cas où C1 n'est pas nul, on fait le changement de variable suivant :
X = (C1*x+C2)
dX = C1*dx
d²G/dx² = (C1)²(d²G/dX²)
d²G/dX²+(-k/(C1)²)*X*G = 0
(-k/(C1)²) est positif car k est négatif. Posons :
K = ((-k)^(1/2))/C1
d²G/dX²+(K²)*X*G = 0
C'est une équation d'Airy. Toutefois, les fonctions de Bessel étant plus couramment utilisées que les fonctions d'Airy, nous les préfèreront pour répondre ici :
G(X) = C3*(X^(1/2))*J((1/3) ; t) + C4*(X^(1/2))*J((-1/3) ; t)
dans laquelle : C3 et C4 sont des constantes, t = (2K/3)*(X^(2/3))
J((1/3) ; t) et J((-1/3) ; t) sont les fonctions de Bessel de première espèce et d'ordres (1/3) et (-1/3) respectivement.
Remarque typographique : normalement l'ordre (1/3) ou (-1/3) est écrit en indice.

En principe, le problème est résolu. Toutefois, ce n'est pas fini car il reste encore une dernière partie de calcul pénible :
- Revenir à G(x) avec t = (2K/3)*(X^(2/3)) et X = C1*x+C2
- Revenir à F(x) en calculant G'(x) puis F = -G'/(k*G)
- Reporter ce résultat dans l'équation F'-k*F²-(C1*x+C2) = 0 et établir la condition sur les constantes C3 et C4. En effet, le passage de l'équation de Riccati à l'EDO linéaire du second ordre introduit des solutions supplémentaires non viables qu'il faut éliminer.
Ainsi on arrive finalement la solution générale de l'équation initiale avec trois constantes quelconques : C1, C2 plus une constante (et non deux) puisque C3 et C4 ne sont pas indépendants.
Toutefois, puisque le principal intéressé, boy64, n'a pas donné signe de vie (en particulier il n'a pas répondu aux interrogations sur ce qui est connu des conditions aux limites ou de conditions particulières permettant de déterminer les constantes), je m'arrête là, sans détailler cette dernière partie. En effet, il est possible que l'une ou l'autre des solutions particulières déjà trouvées :
F(x)= 4/(A*Re*(x+c))
ou F(x)=(-4/(A*Re))*tg(w*(x+c))
ou F(x)= (4/(A*Re))*th(w*(x+c))
suffise à boy64 pour faire son bonheur : il n'a peut-être pas besoin de la solution générale complètement explicitée. Ce serait du travail inutile que de continuer dans ces conditions.
Bien entendu, tout ceci est à vérifier par vous-même : nul n'est à l'abri d'une faute d'inattention.

[boy63]

Merci pour toutes ces réponses! je viens juste de les voir et elles vont m'aider beaucoup!je vous remercie je vais pouvoir avancer.
C'est un forum que je vais recommander!

[maturin]

ben jja, c'est exactement ce que je voulais écrire ;)

[JJa]

Ben maturin, personne n'en doutais... :ptdr: