Problème injective, surjective...

[marie9]

Exercice:
Soit E, F, G trois ensembles et deux applications f: E-->F , g: E-->G. On définit l'application:
h : { E-->F*G
{ x-->h(x)=(f(x),g(x))

1) Montrer que si f ou g est injective, alors h est injective.

2) Dans cette question seulement, on suppose que h est l'application
[-pi,pi[--> R^2
x-->(sinx,x^2)
h est-elle injective ? Même question pour f et g.

3) Montrer que si h est surjective, alors f et g sont surjectives.

4) Démontrer à l'aide d'un contre-exemple que la réciproque est fausse (c'est à dire: donner une application h non surjective telle que f et g soient surjectives; justifier la réponse).


Voilà ce que j'ai fait pour la question 1:
Soient x et x' deux éléments de E tels que h(x)=(f(x),g(x))=h(x')=(f(x'),g(x')). Alors f(x)=f(x') et g(x)=g(x'). Comme au moins l'une des deux est injective, ceci implique que x=x'. Il en résulte que h est injective.

Pour la suite, je n'y arrive pas... Alors si quelqu'un a la gentillesse de m'aider, ce n'est pas de refus.

[leon1789]

ok pour la reponse 1

2) Dans cette question seulement, on suppose que h est l'application
[-pi,pi[--> R^2
x-->(sinx,x^2)
h est-elle injective ?

écris (sin x,x^2)=(sin x',x'^2) et vois ce qui arrive à x et x'...

[marie9]

x=x' ?
Je ne comprend pas vraiment...

[leon1789]

que signifie (sin x,x^2)=(sin x',x'^2) ? que les coordonnées respectives sont égales, et après ?...

[marie9]

Alors h est injective ?

[marie9]

Alors, n'y a-t-il personne pour m'aider ?

[leon1789]

Alors h est injective ?

ben oui, mais il faut que tu le démontres ! ..en te servant de ce que je te dis...

[marie9]

j'utilise la définition sur les fonction injectives ?

[leon1789]

Il faut démontrer l'implication h(x)=h(x') => x=x'

[marie9]

Oui mais ça ne démontre pas que h est injective si je dis :
(sin x,x^2)=(sin x',x'^2) alors x=x'

[leon1789]

Oui mais ça ne démontre pas que h est injective si je dis :
(sin x,x^2)=(sin x',x'^2) alors x=x'

ben nan ! :ptdr: Ce serait trop simple, tout le monde pourrait démontrer n'importe quoi comme ça.

Là, en disant (sin x,x^2)=(sin x',x'^2) alors x=x', tu affirmes que h est injective, mais sans le démontrer !

Tu n'as jamais fait de preuve au lycée et au collège ??? :hum:

Faire une preuve, ce n'est pas affirmer d'un coup la conclusion. Pour faire une preuve, il faut faire un raisonnement passant de (sin x,x^2)=(sin x',x'^2) à d'autres égalités qui, les unes après les autres, explique pourquoi on arrive au final à x=x'.

[marie9]

si je sais bien qu'il doit y avoir un raisonnement avant la conclusion, mais je ne vois pas vraiment dans ce cas comment faire... Si je continu de là ou j'en étais, je peux dire que h(x)=h(x') ?

[leon1789]

je peux dire que h(x)=h(x') ?

OK, ça, c'est la première ligne.

On continue : qu'est ce que cela signifie sur les DEUX coordonnées ?

[marie9]

(sin x,x^2)=(sin x',x'^2)

[leon1789]

(sin x,x^2)=(sin x',x'^2)

là, tu écris juste h(x)=h(x') !

Maintenant,pour toi, qu'est ce que cela signifie ?

[COTLOD]

Pour la première coordonnée : sin(x)=sin(x')
Pour la deuxième coordonnée :
Trouver une conséquence pour la deuxième coordonnée...

[marie9]

Alors x=x' ?

[leon1789]

Alors x=x' ?

....En es-tu convaincue ?

[marie9]

Non. Je devrais l'être ?

[leon1789]

Non. Je devrais l'être ?

effectivement tu as raison, la preuve n'est pas complète.

Que voulais-tu dire par ceci ?

Alors x=x' ?

Revenons à

Pour la première coordonnée :
Pour la deuxième coordonnée :
Trouver une conséquence pour la deuxième coordonnée...

Je t'ai écrit la première ligne, Coltlod a écrit la seconde, à toi maintenant de continuer.