Problème de géométrie.

[plc]

bonjour,

voila je suis en prepa et j'ai un exercice à faire en DM que je n'arrive pas à résoudre. Le voici:
Soit C un cercle de rayon R et de centre O.
On considère deux cordes [A,B] et [C,D] de C qui se coupent perpendiculairement en un point M.

Montrer que: AB^2 + CD^2=8R^2-4OM^2

(j'ai essayé de decomposer AB^2 en (AM +DB)^2 puis jai utilisé pythagore mais je n'aboutit à rien d'interressant! )
Peut-etre faut il utiliser la trigo??!!

merci pour votre aide.

[phryte]

Slt.

pythagore

Plutôt : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A

[Doraki]

En projetant O sur les deux cordes et en utilisant pythagore, c'est pas très dur.

[oscar]

Bonjour

V OP _|_ [AB] en son milieu
V OQ _| [CD] en son milieu
OPMQ rectangle
triangle rectangle OPB : PB² = OB² -OP² = R² - OP²
triangle rectangle OCG: CQ² = OC² - OQ²= R² - OQ²
On additionne les deux égalités et on remplace PB par AB/2 et CQ par CD/2
et OP² +OQ² par OP² +PM² = OM²

On obtient ainsi l' égakité à démontrer

[oscar]

Figure

http://img353.imageshack.us/my.php?image=cercleetcordesrq1.jpg

[plc]

merci beaucoup j'avais pas pensé à cette astuce du projeté de O sur AB et CD!