Problème forme quadratique

[Ehrmantraut]

Bonjour,

J'ai un paraboloïde défini comme:
avec avec ,, les composantes du vecteur v.

Première étape, j'ai dû trouver le vecteur et la matrice symétrique (3x3) tels que:
notons que T en exposant signifie la transposée.

Je pense y être parvenu car j'ai et



Là où ça coince:
Je dois trouver une base de R³ telle que dans cette nouvelle base: où M' est une matrice diagonale.

J'ai pensé à diagonaliser M:


J'ai eu

Ensuite, c'est le flou total
Auriez-vous des explications?

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Il s'agit de décomposer la partie quadratique de l'équation en carrés (décomposition de Gauss). Grand classique: . On peut prendre des nouvelles coordonnées

à partir de quoi tu peux calculer la matrice de changement de base. Tu trouveras quelque chose qui ressemble à la tienne (mais est différent).

[catamat]

Bonsoir

Juste pour dire que la diagonalisation de M c'est (pas de transposée)

Si on prend comme nouvelle base B' celle des vecteurs propres trouvés, la matrice permet de passer de la base B' à la base départ B

On obtient alors les en fonction des
J'ai obtenu

On remplace alors dans l'équation






,

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Un petit bémol à ce qu'écrit catamat : on emploie parfois le terme "diagonalisation" au sujet d'une forme quadratique quand il s'agit de trouver une base dans laquelle la matrice de cette forme quadratique est diagonale. Ça revient à la décomposition en carrés de Gauss, et sous forme matricielle on a bien la formule avec des transposées.

[Sophie78]

A quadratic form problem usually consists of an expression of the form Q(x)=x
T
Ax, where x is a vector and A is a symmetric matrix. The problem usually focuses on understanding the properties of the quadratic form, such as whether it is positive definite, negative definite, or indefinite. Such problems occur in contexts such as optimization, physics, and statistics, where the maximization or minimization of the quadratic form may be sought, or the behavior of systems modeled by quadratic equations may be investigated. Diagonalization, eigenvalue analysis and completing the square are some common techniques used to solve these quadratic form problems.

[vam]

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