Problème de fonctions

par **Florix** » 21 Jan 2006, 20:19

Au secours ma têta ve exploser !!! Ca fait depuis 1h que je tourne en rond sur cet exercice sans rien trouver !!!!!!!!! :marteau:

Aidez moi svp !!!! parce que là j'en peux vraiment plus !

Pour vous aider dans la lecture, j'ai mis

--> En rouge les questions que je n'arrive pas à résoudre
--> En bleu les questions où il me manque juste un tout petit truc pour arriver au résultat
--> En noir les questions de l'exercice que j'ai résolu et qui donne des informations

Exercice :

Soit f une application de R dans R, dérivable sur R telle que f(0) = 0 et f ' (x) = e^(-x f(x) )

1/ On montre que f est croissante et que f est positive dès que x > 0

2/ On montre que f est équivalent à 0 au voisinnage de 0

3/ On montre que pour tout x positif différent de 0, f(x) = (1/L) (1 - e^(-Lx))[/COLOR]

par **yos** » 21 Jan 2006, 20:55

4) la suite est positive (récurrence immédiate compte tenu de f(x)>0 pour x>0).

un+1=f (un)
Donc décroissante minorée donc convergente.

La limite est 0 mais je ne vois pas pourquoi dans l'immédiat. Je reviendrai.

5)f(x)/x tend vers 1 qd x tend vers 0 (déjà vu). Donc f(un)/un tend vers 0 .
(C'est ici qu'on a besoin de "un tend vers 0")

par **Florix** » 21 Jan 2006, 21:12

Merci yos dejà ça ça m'aide !

Si qqn a des idées pour les autres questions !

par **Galt** » 21 Jan 2006, 22:24

4) la suite un tend vers un point fixe de f, qui ne peut être que 0 (f(x)0)
8) f est strictement croissante (puisque sa dérivée est une expo, donc strictement positive), elle a donc une limite (finie ou infinie) en +l'infini, mais pas nulle (f(0)=0), donc ta limite est clairement nulle (le numérateur est nul, et pas le dénominateur)
9) pas d'idée pour l'instant
10) si w est décroissante et f croissante, et qu'elles sont équivalentes, c'est assez logique que f ne tende pas vers +infini

par **yos** » 21 Jan 2006, 23:07

Moi je trouve w'(x)=[-xf'(x)²f(x)-f'(x)²]/f(x)² qui est du signe de -xf(x)-1, clairement négatif pour x>0. Pas clair pour x<0.

Je crois que ta formule pour f''(x) est fausse : c'est -f'(x)[f(x)+xf'(x)]

par **Florix** » 21 Jan 2006, 23:15

La formule de f '' (x) est :

[CENTER]f '' (x) = - ( f(x) + x f ' (x) ) f ' (x)[/CENTER]

par **yos** » 21 Jan 2006, 23:21

C'est ce que je disais. Ta précédente formule était fausse. Peut-être que si tu recalcules w'(x) avec ça tu auras ce que je dis et tu pourras conclure, au moins sur R+. Ca devrait suffire pour la question 10

par **Boura** » 21 Jan 2006, 23:23

En quoi la dérivée intervient dans la question 10 ?

par **Florix** » 21 Jan 2006, 23:25

Ouais je suis d'accord avec Boura (qui ceci dit a effacé son message - ?? - )

yos a écrit:Ca devrait suffire pour la question 10

En quoi la dérivée intervient dans la question 10 ?

par **yos** » 21 Jan 2006, 23:32

Pas la dérivée mais le fait que w décroit sur R+. (sur R- j'en sais rien)

par **Florix** » 21 Jan 2006, 23:44

AH oui ok !! Merci beaucoup !
Pour R - c'est pas grave puisqu'en fait w est définie sur [a ; +oo[ avec a un réel strictement positif !

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