Problème à l'exponentielle complexe...

[OutreTombe]

Bonjour. Est-ce que quelqu'un pourrait bien m'expliquer pourquoi par exemple exp(5i)^3,1 n'est pas égal à exp(15,5i) ???????

Ca fait des jours que je cherche et je ne comprend pas. J'ai toutefois fait des observations et il semblerait que si exp(ai)^b = exp(abi) avec a et b réels alors soit b est un entier relatif (cas évident), soit a est compri entre ]-pi;pi] !!!!!

Je vous en supplie, j'en perds la boule, pourriez vous me donner une démonstration du cas où a appartient à ]-pi;pi] ? Sinon j'ai trouvé des formules barbares concernant exp(ai)^b, mais je ne peux les démontrer...

Merci bien...

[OutreTombe]

S'il vous plait aidez moi...

[Clembou]

Bonjour. Est-ce que quelqu'un pourrait bien m'expliquer pourquoi par exemple exp(5i)^3,1 n'est pas égal à exp(15,5i) ???????

Ca fait des jours que je cherche et je ne comprend pas. J'ai toutefois fait des observations et il semblerait que si exp(ai)^b = exp(abi) avec a et b réels alors soit b est un entier relatif (cas évident), soit a est compri entre ]-pi;pi] !!!!!

Je vous en supplie, j'en perds la boule, pourriez vous me donner une démonstration du cas où a appartient à ]-pi;pi] ? Sinon j'ai trouvé des formules barbares concernant exp(ai)^b, mais je ne peux les démontrer...

Merci bien...

J'ai trouvé un cours sur l'exponentielle complexe ici :

http://people.math.jussieu.fr/~jacob/cours-101006-MP1-exponentielle-complexe-trigonometrie.pdf

ou encore ici :

http://g.boutte.free.fr/cours/Exp_compl.pdf

J'espère que ça pourra t'aider...

[barbu23]

Salut :
...
Où est le problème ... ? :hein:

[The Void]

Salut :
...
Où est le problème ... ? :hein:

Seulement si z' est entier.

[mathelot]

Salut :
...
Où est le problème ... ? :hein:

Il faut définir le log complexe, ce qui n'est pas possible sur

[mathelot]

Bonjour. Est-ce que quelqu'un pourrait bien m'expliquer pourquoi par exemple exp(5i)^3,1 n'est pas égal à exp(15,5i) ???????

est un nombre complexe de module 1 , élevé à une puissance décimale

d'après les définitions habituelles en algèbre, on élève à la puissance "un-dixième" puis à la puissance trente-un.



C'est la puissance "1-10ième" qui pose problème.

Il faut résoudre l'équation , d'inconnue u, qui a, en général, dix solutions car est un corps algébriquement clos.

De plus, quand on a choisi une solution de cette équation, et que ensuite z varie, il faut pouvoir suivre "continuement" et ne pas sauter brutalement d'une racine à l'autre. On appelle ça, une détermination continue du logarithme complexe. Une telle détermination est définie sur un ouvert du plan complexe sans "trou", ie, simplement connexe.

conclusion: est multi-valuée,
ses valeurs possibles sont les dix nombres complexes de module 1
et d'argument:



Ces dix nombres sont placés sur un décagone (polygone régulier à 10 côtés).
Contrairement à ce qui se passe habituellement,comme l'argument 15,5 est incommensurable avec , les affixes des sommets de ce polygone ne forme pas un groupe multiplicatif.

[mathelot]

J'ai trouvé un cours sur l'exponentielle complexe ici :

http://people.math.jussieu.fr/~jacob/cours-101006-MP1-exponentielle-complexe-trigonometrie.pdf

Il suffirait de démontrer rapidement le critère de d'Alembert, de donner la définition du produit de deux séries et tout rentrerait dans l'ordre (logique et chronologique)

[OutreTombe]

est un nombre complexe de module 1 , élevé à une puissance décimale

d'après les définitions habituelles en algèbre, on élève à la puissance "un-dixième" puis à la puissance trente-un.



C'est la puissance "1-10ième" qui pose problème.

Il faut résoudre l'équation , d'inconnue u, qui a, en général, dix solutions car est un corps algébriquement clos.

De plus, quand on a choisi une solution de cette équation, et que ensuite z varie, il faut pouvoir suivre "continuement" et ne pas sauter brutalement d'une racine à l'autre. On appelle ça, une détermination continue du logarithme complexe. Une telle détermination est définie sur un ouvert du plan complexe sans "trou", ie, simplement connexe.

conclusion: est multi-valuée,
ses valeurs possibles sont les dix nombres complexes de module 1
et d'argument:



Ces dix nombres sont placés sur un décagone (polygone régulier à 10 côtés).
Contrairement à ce qui se passe habituellement,comme l'argument 15,5 est incommensurable avec , les affixes des sommets de ce polygone ne forme pas un groupe multiplicatif.

Merci Mhatelot,
Donc si j'ai bien compris, il n'y a pas de valeur définie par convention pour exp(5i)^3,1 ? Sur ma calculatrice, j'ai testé les différentes possibilités que tu m'a donné et miracle! Elle me donne que exp(5i)^3,1 = exp(15,5i+9i*pi/5) c'est génial! Je pas encore compris toute ton explication (je ne suis qu'en premiere là^^) aussi je ne vois pas pourquoi ma calculatrice choisit k=9 ...(est-ce une convention?...)
Sinon pour le cas où le "a" de exp(ai)^b appartient à ]-pi;pi] ma calculatrice me donne toujours exp(ai)^b = exp(abi) , est-ce donc une convention ou juste ma calculatrice qui est programmée comme ça et qui me donne ce résultat?

Merci à tous de vous être penché sur ma question, seul je n'aurait certainement rien compris...^^

[mathelot]

Merci Mathelot,
Donc si j'ai bien compris, il n'y a pas de valeur définie par convention pour exp(5i)^3,1 ?

en fait , si, il y en a une.
Pour définir l'exponentielle d'un nombre complexe, il n'y a aucun souçi.
On prend comme formule approchée:



en poussant la somme aussi loin que nécessaire, pour la précision des calculs.

Pour log z , c'est un peu plus compliqué:
si on pose a+ib= log z,
on veut , d'où et

soit:


c'est ennuyeux ! la deuxième coordonnée est définie modulo 2
pour pallier à cet inconvénient,on choisit de suivre la "solution" continuement, en prenant pour b,l'argument principal de z, noté Arg(z). On ne travaille donc
pas modulo , contrairement à l'habitude.

et ça marche tant que z ne tourne pas autour de l'origine. On coupe donc le plan complexe de définition du logarithme, selon une demi droite, en général selon les réels négatifs , on se restreint alors à une détermination de l'argument de z entre et

concrêtement, ça donne:

on multiplie par 3,1:

on prend l'exponentielle. Le terme de gauche donne par définition:

aussi je ne vois pas pourquoi ma calculatrice choisit k=9 ...(est-ce une convention?...)

il y a plusieurs convention pour le log complexe, log(z), selon la détermination
de l'argument de z choisie.

[mathelot]

zappons sur une autre chaine:

par içi

[OutreTombe]

Ce que je n'ai toujours pas compris, c'est pourquoi ma calculatrice trouve que exp(5i)^3,1 est different de exp(5*3,1i) ...

[mathelot]

Ce que je n'ai toujours pas compris, c'est pourquoi ma calculatrice trouve que exp(5i)^3,1 est different de exp(5*3,1i) ...

quelle marque ?

[barbu23]

:ptdr: :ptdr: :ptdr:

[mathelot]

:ptdr: :ptdr: :ptdr:

[OutreTombe]

Texas TI 83+ ^^ Vous avez lesquelles?^^

[OutreTombe]

Qu'est-ce quelle vous donne à vous?^^