Probleme exo de maths fonction

[smcaen]

bonjour, voici mon énoncé:

F:R->R de classe C1 tq (fof)(x) = (x/2) +3

1) Déduire que quelque soit x€R , f(x/2 + 3) = f(x)/2 +3
2) deduire que f' est constante

J'ai résolu la 1ere question mais je peche pour la 2eme aidez moi svpppp

[abel]

en dérivant le resultat de la questoin 1°) on trouve que f'(x)=f'(x/2+3) puis de proche en proche f'(x/2+3)=f'(1/2*(x/2+3)+3) etc... là il faut trouver une relation de recurrence puis trouver que le truc entre parenthese converge vers un nombre et que donc par continuité de f' : f'(x)=f'(l) où l est la limite trouvée...

EDIT : en fait la convergence de Un+1=Un/2+3 est presque donnée car f : x->x/2+3 est contractante donc la limite est le point fixe (résoudre en fait f(x)=x et alors x sera la limite que j'ai notée l)

[smcaen]

dois-je calculer la derivée seconde?

[abel]

Ben le truc c'est qu'on ne sait pas que ta fonction est 2x dérivable donc non ça se fait pas comme ça, regarde ce que je te propose, ça me parait bon...

[smcaen]

ok merci beaucoup

[smcaen]

comment puis je obtenir une limite finie avec le +3 qui s'ajoute a chaque étape?

[abel]

Non ca converge bien : pour t'en convancre pose Vn=Un - 6: tu verras que Vn est gémetrique de raison < 1 donc elle converge vers 0 d'où Un converge vers une limite finie (6) :
On a : Vn+1=Un+1 - 6 = 1/2*Vn donc Vn tend vers 0 donc Un tend vers 6.