Probleme : exo binome de newton

[tristounet42]

Salut a tous ! :zen:
J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour mon premier DM en prépa MP.
Je dois simplifier des sommes en m'aidant du binome de newton (a+b)^n=...

S1 = C(n,0) + C(n,2) +C(n,4) + .... + C(n,2k) + .... + C(n,n)

S2 = C(n,1) + C(n,3) +C(n,6) + ... + C(n,3k) + .... + C(n,n)

S3 = C(25;0).C(4;3) +C(25;1).C(4;2)+C(25;2).C(4;1)+C(25;3).C(4;0)

( bien sur jai la solution numérik , mais on me demande ensuite de généraliser:

S4 = Somme C(m,i).C(n,j)
.............i+j=k
(i et j naturels)

ensuite O reel et n naturel
...........n
S5 = Somme C(n,k) cos(k.O)
..........k=0

...........n
S6 = Somme cos (k.O)
...........k=0

mon DM est a rendre pour lundi , si vous n'aviez ne serait-ce qu'une piste a me donner ce serait formidable !

Merci d'avance

[Galt]

La 1)
On développe , on fait apparaître la somme et la somme . On connait et
La 2)
Je suppose qu'elle commence par . On va s'en sortir en développant et (et aussi ) avec , en se souvenant que . En fait, c'est la même que l'autre, sauf qu'on prend les racines cubiques de 1 au lieu des racines carrées
La 3 : voir 4
La 4
Je préfère une démonstration par les dénombrements
Dans la cklasse, il y a m garçons et n filles. Je veux faire des groupes de k élèves. Je peux prendre 0 garçon et k filles, 1 garçon et k-1 filles, 2 garçons et k-2 filles, ... i garçons et j filles ...
La 5 : Il faut écrire puis faire apparaître une somme de
La 6 : voir la 5 avec des suites géométriques
Il faut peut-être réfléchir plus fort ...

[thomasg]

bonjour,

une modeste contribution (rapide, non relue)

il me semble que S1 est égale à 1/2((1+1)^n+(1-1)^n), soit 2^(n-1)

A vérifier. Au revoir