Problème d'estimateur sans biais

[Pootis]

Bonjour à tous,

Je rencontre un petit problème statistique : je dispose de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi . Je dois estimer les paramètres et . À partir d'un échantillon , j'en déduis la log-vraisemblance du modèle :



Afin de déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance pour le paramètre , en dérivant par rapport à , j'obtiens :



J'en déduis alors que l'estimateur du maximum de vraisemblance pour le paramètre est :



Seulement, d'après les conditions de mon projet, cet estimateur est normalement biaisé. Pourtant, après calcul, je trouve :



Or ici, mon estimateur est sans biais. Auriez-vous une idée de pourquoi cet estimateur est-il sans biais alors que, normalement, il devrait être biaisé ? Aurais-je fais une erreur de calcul dans la log-vraisemblance ? Merci pour vos réponses .

[zygomatique]

salut
je ne comprends pas pourquoi tu passes par le log ....

à partir de ton échantillon

l'estimateur de la moyenne est (1)

et il est sans biais ...

l'estimateur de la variance est

il suffit de remplacer m par son expression (1) ... et de tripatouiller convenablement ....

[Pootis]

En fait, dans le projet que je suis en train de faire, il est demandé de passer par la log-vraisemblance pour ensuite trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance pour les paramètres.
Donc en fait, dans l'estimateur , il faut remplacer le paramètre par l'estimateur de la moyenne, et non pas le considérer comme une constante ?

[Ben314]

Salut,
Si tu ne connait pas la moyenne de ton échantillon alors, effectivement l'estimateur de la variance par (où m est l'estimateur de la moyenne) est avec biais (il serait sans biais si était la véritable valeur de la moyenne connue)
L'estimateur archi classique sans biais est (ce qui est on ne peut plus logique : si n=1, c'est que tu n'as qu'une seule valeur statistique et, vu que tu connait pas la moyenne, ça semble complétement évident que tu ne risque pas de faire la moindre estimation de l'écart type avec ton unique valeur !!!!!)

Et ton erreur, c'est de faire des calculs comme si "la vrai" moyenne de ta v.a.r. (ton ) était égale à qui n'en est qu'un estimateur.

[Pootis]

Super alors, ça va me permettre de continuer le projet ! J'étais en effet bloqué et j'avais un doute justement sur le . Au départ, cela me faisait bizarre d'avoir un estimateur dépendant d'un autre, mais c'est plus logique étant donné que l'on ne connait pas précisément. Merci pour vos réponses .

[zygomatique]

on trouve la démonstration ici ::

https://fr.wikipedia.org/wiki/Variance_ ... Estimation

....

c'est le "tripatouillage" que je te proposais ... en condensé ...

[Pootis]

Merci. J'avais déjà vu l'estimateur non biaisée de la variance en cours, je vais m'appuyer sur ces résultats.