Problème: équation polynomiale P(X²)=P(X+a)PX+b)

[ckvjvnchjkdcvd]

Bonjour,

j'étais en train de résoudre un problème visant à trouver tous les polynômes solutions de ce problème.
Les premières questions qui étudient le cas où a=b (a et b étant des complexes) ne me posent pas problème .
Je bloque surtout sur la question me demandant de montrer qu'un polynôme de cette équation est forcément de la forme X^n.
J'ai essayé en considérant un polynôme de degré 1 pour ensuite généraliser mais je n'aboutis pas à grand chose
Je vous remercie d'avance pour vos réponses.
Je vous mets l'énoncé ci-dessous:

Dans cette partie, on considère l'équation suivante:
(E_a): P(X²)=[P(X+a)]²

1) Soit P un polynôme à coefficients dans C non constant.
On note p le nombre de racines complexes distinctes de ce polynôme.
a) Justifier que p est un entier naturel non nul

On utilise d'Alembert Gauss

b) Déterminer le nombre de racines distinctes du polynôme P(X+a)²

On considère une racine particulière du polynôme P(X) (z par exemple) puis en sachant que z-a est une racine de P(X+a) on peut en déduire que comme P(X) a p racines distinctes alors P(X+a) également.

c) Même question avec P(X²)

De même en faisant attention à la valeur de P(0)
2) a) Montrer qu'un polynôme non constant solution de (E_a) est nécessairement de la forme X^n, n étant un entier naturel non nul.
b) Décrire l'ensemble des solutions selon la valeur de a

on raisonne par équivalences et ça tombe tout seul

[catamat]

Bonjour
Il n'y a pas de fichier joint.
Utiliser un hébergeur comme zupimages pour insérer le fichier

[Ben314]

Salut,
Tu as réussi à faire a question 2)a) ou pas ?

[ckvjvnchjkdcvd]

Bonjour,
Non pas encore j'avais juste supposé le résultat pour la suite.
Comme je l'ai expliqué dans mon premier message j'avais essayé quelques pistes de recherches mais en vain.

[Ben314]

En fait ça découle de la question c) : si alors le nombre de racine distinctes de doit bien évidement être le même que celui de qui est le même que celui de .
Sauf que, si un complexe non nul est racine de , ça créé deux racines distinctes pour (à savoir les deux racines carrées complexes de ). Donc si avait des racines autres que 0, alors aurait strictement plus de racines que .

[ckvjvnchjkdcvd]

OK et je suppose que pour montrer que c'est un polynôme unitaire il suffit de déterminer de considérer P(X)= z*X^n où z est un complexe puis déterminer z avec l'équation.
Sinon je vous remercie de votre aide et je vous souhaite une bonne continuation.

[Ben314]

Oui, c'est ça.

Bon courage pour la fin de ton exo.