Problème : droite et cercle de Leonhard Euler d'un triangle

[bobbybj]

Bonjour à tous...

Je bloque sur un exercice de mon DM... Vous trouverez ci-dessous l'énoncé ainsi que les quelques réponses que j'ai pu trouver.... Merci beaucoup à tous à l'avance... :we:

Soient A,B,C trois points non alignés du plan affine euclidien orienté P.
Soient O et R le centre et le rayon du cercle T circonscrit au triangle ABC.
Soit r un repère orthonormal direct de P d'origine le point O.
Soient a,b,c les affixes des points A,B,C dans r.

1) Justifier que aa(barre)=bb(barre)=cc(barre)=R².
Ca c'est bon j'ai trouvé...


2) DROITE D D'EULER DU TRIANGLE ABC

a) Quelle est l'affixe g dans le repère r de l'isobarycentre G des points A,B,C ?
J'ai trouvé g=(a+b+c)/3...

b) Montrer que l'affixe h dans r de l'orthocentre H du triangle ABC vaut a+b+c.
Là je bloque... Faut-il introduire les équations cartésiennes de deux des hauteurs puis faire un système pour l'intersection?

c) En déduire que O,G et H sont sur une même droite D et préciser leur position relative.
Là j'arrive à monter l'alignement des points en passant par la colinéarité des vecteurs HG et OG. Mais la position relative...


3) PIED D'UNE HAUTEUR DU TRIANGLE ABC
La hauteur du triangle ABC issue de A coupe le cercle T en A et en un point A' éventuellement confondu avec A.

a) Montrer que l'affixe a' dans le repère r du point A' est égale à : a(barre) * ((b-c)/(b(barre)-c(barre))).
Faut-il passer par une équation de T ?

b) Montrer avec les nombres complexes que BA'=BH

[B]c) Montrer que le pied Ha de la hauteur du triangle ABC issue de A est le milieu du segment [A';H]


4) CERCLE T0 D'EULER OU DES NEUFS POINTS DE ABC[/B]

Soient A0=mil[B,C], B0=mil[C,A], C0=mil[A,B] et I=mil[A,H], J=mil[B,h] et K=mil[C,H]. Soient Ha, Hb, Hc les pieds des hauteurs de ABC issues de A,B et C. Pour la suite, on utilisera les complexes. Montrer que les neuf points A0,B0,C0,I,J,K,Ha,Hb et Hc sont sur une même cercle T0 de centre omega=mil[O,H]. Quel est le rayon de T0?


Merci à tous d'avance....

[Maxmau]

Bj
Ecris
h -(a+b+c) = (h-a) - (b+c) = (h-b) - (c+a) = (h-c) - (a+b)
D'où: h-(a+b+c) = 0
car (h-a) - (b+c) "orthogonal" à b-c)
(h-b) - (c+a) "orthogonal" à c-a
(h-c) - (a+b) "orthogonal" à a-b

[Maxmau]

Plus géométriquement et vectoriellement
OH - (OA+OB+OC) = AH – (OB+OC)
De même OH - (OA+OB+OC) = BH –(OA+OC)
Et OH - (OA+OB+OC) = CH - (OA+OB)
Le vecteur OH - (OA+OB+OC) est orthogonal aux 3 côtés du triangle. Il est donc nul

[oscar]

Bonsoir cercle des 9 points


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