Problème du dimanche soir

[xav75]

Bonjour, j'ai un petit voire gros problème ce dimanche soir, bref c'est pas l'idéal pour finir le we.
Alors on me demande de calculer la somme entre n=1 et n=infini de 1/[n(n+1)(n+2)] et je suis complètement paumé. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
Merci d'avance et bonne fin de we à tous.

[Yipee]

D'abord on montre que la somme existe par un rapide equivalent. Pour le caclul, on décompose 1/(n(n+1)(n+2)) sous la forme a/n + b/(n+1) + c/(n+2). Ensuite c'est un téléscopage.

[xav75]

D'abord on montre que la somme existe par un rapide equivalent. Pour le caclul, on décompose 1/(n(n+1)(n+2)) sous la forme a/n + b/(n+1) + c/(n+2). Ensuite c'est un téléscopage.

Merci pour la réponse, par contre c'est quoi un "rapide équivalent". Pour la décomposition ça va mais par contre il me semblait que les séries du type 1/n divergeaient non ? Donc comme je peux faire pour trouver la somme ?

[Zebulon]

il me semblait que les séries du type 1/n divergeaient non ?

Bonsoir,
connaissez-vous le théorème sur la convergence des séries de terme général ? (ce sont les célèbres séries de Riemann)

[xav75]

Bonsoir,
connaissez-vous le théorème sur la convergence des séries de terme général ? (ce sont les célèbres séries de Riemann)

Oui mais ici je ne vois vraiment pas comment faire...

[Zebulon]

Commencez par donner un équivalent du terme général de votre série.

[xav75]

oui mais c'est quoi un équivalent ?

[Bouchra]

Bonjour,
Si tu ne connais pas les équivalents, y a pas besoin ici, tu peux calculer la somme de n=1 à N par la méthdoe proposé par Yipee, puis passer à la limite, ou encore :

1/(k(k+1)(k+2)) = (1/2) * 1/(k+1) * (1/k-1/(k+2))
= (1/2) * (1/(k(k+1)) - 1/((k+1)(k+2)))
= u_k - u_{k+1}

Et télescopage ...

[Zebulon]

C'est vrai que pour montrer qu'un série converge, il suffit de calculer sa somme. Cependant, quand on commence à étudier les séries, on s'aperçoit bien vite qu'utiliser les équivalents peut s'avérer très utile... Notamment pour prouver qu'une série ne converge pas, ou bien si la série converge mais qu'on ne sait pas calculer sa somme.