Problème différence de marche

[CPI46]

Bonjour à tous,

Je suis à la retraite et vous comprendrez qu’avec mon niveau faible en Mathématiques et que tout cela est très très loin pour moi, j’ai des difficultés. C’est pourquoi je sollicite votre aide.

Ce problème se situe dans l’espace à 3 dimensions (l’espace 3D).
Je joins une figure représentative en 2 dimensions, dans le plan XY, pour simplifier le schéma.

Le problème se présente en 3 étapes :

Les données :
- L’origine du repère est O des axes X, Y, et Z
- Sur l’axe X dans le plan YZ à une distance F de O se situe un disque circulaire de centre C et de diamètre d. L’ensemble de ses points sont dans le plan (F, y, z) dont les coordonnées maximales sont + - d/2 en y et z. Son centre C a pour coordonnées C (F, 0, 0). Le disque est schématisé en gris.
- Il y a un cône (en vert sur le schéma) qui a pour sommet l’origine O et qui couvre le disque.
- Il y a aussi une sphère de centre l’origine O et de rayon F, donc qui passe par C
- Ce qui nous intéresse c’est l’ensemble des points P de la calotte, surface calotte qui est l’intersection du cône et de la sphère.
- il y a aussi un ensemble de point A qui se situent dans le plan YZ de coordonnées (0, y, z)
Les données sont donc O, F, d, P(x,y,z) sur la calotte, et A(0,y,z) dans le plan YZ

Étape 1.
- Définir les coordonnées d’un point P de la surface de la calotte
- Calculer les distances AP et AC
- Calculer la différence entre AP et AC fonction de la position de A et de P. Cette différence est nommée (dif = AC - AP) en mesure algébrique, elle peut donc être positive ou négative.

Étape 2.
- Calculer la somme des différences, somme des valeurs (dif) pour un point A(0, y, z) donné avec l’ensemble des points P situés dans surface de la calotte. Cette valeur peut être nommé A(y, z), valeur au point A de coordonnées (0, y, z) puisque sont x = 0

Étape 3.
- proposer un moyen par exemple avec un tableur type Excel de lister les valeurs (dif) pour un ensemble de points A du plan (0,y,z), sous forme d’un carré centré sur l’origine et de coté de longueur (a) par exemple a = 50 (50 x 50 = 2500 points avec 2500 valeurs de (dif.))

Petites propositions, suggestions ou informations
- L’étape 1 devrait pouvoir s’exprimer sous forme analytique (je l’espère)
- L’étape 2 est une intégrale. Peut-être peut-elle s’exprimer sous forme d’un développement limité.
- Une autre solution pour l’étape 2 est d’utiliser un tableur et donc de discrétiser la surface de la calotte par les points qu’elle contient, par exemple avec un nombre limité de points comme si le disque avait un diamètre de 200 points, ou mieux si une sécante de la calotte passant par l’axe OX était composée de 200 points mais uniformément répartis sur cette surface.
- Il semblerait que le résultat demandé correspond à la transformée de Fourier d’une image du disque blanche sur fond noir. Mais l’inconvénient de la transformé de Fourrier c’est que pour qu’elle soit juste il faudrait que l’image soit infinie (ou très grande) par rapport au diamètre du disque et les soft d’imagerie sont limité pour un ordinateur classique, donc l’image résultat est imprécise.
Merci d’avance pour votre aide.
CPI46

https://nsm09.casimages.com/img/2020/10/22//20102207312825682917092590.png

[pascal16]

L'étape 3 me semble une vérification algébrique de (2).

les coordonnées cylindriques et la symétrie feraient de la question 1 une question facile, mais vu la suite, ça ne sert que d'étape de calcul au mieux.

tu es passé par 3 équations/inéquations en x²/y²/z² à remanier ?

[CPI46]

L'étape 3 me semble une vérification algébrique de (2).

les coordonnées cylindriques et la symétrie feraient de la question 1 une question facile, mais vu la suite, ça ne sert que d'étape de calcul au mieux.

tu es passé par 3 équations/inéquations en x²/y²/z² à remanier ?

Désolé pascal je n'est rien compris
L'étape 3 est le but recherché

[pascal16]

Je me demandais simplement quelle était le meilleur repère pour les calculs, si on part en cartésien :
Ca donne un tuc du genre :
P(a,b,c)
a²+b²+c²=f² (appartenance à la sphère)
a²+b²<= f²-d²/4 (limite du contour extérieur en forme de cercle)
a>0 (pour ne pas avoir l'autre calotte qui correspond aussi aux deux premières équations)

Vu la suite, je pense qu'il ne faut pas se prendre la tête, on sera en coordonnées sphérique avec
r =d/2
un angle de 0 à 2pi (si le tableur est en rdians)
un second angle dont on doit déterminer la limite (arctan (d/2f) je pense)
on aura donc 2 nombres aléatoires entre 0 et 2PI et 0 et arctan (d/2f)
a= f cos du 2iem angle
b=...
c=...

AP= sqrt (a²+(y-b)²+(z-c)²)

[CPI46]

Merci pascal16.

Je me demande s’il ne serait pas plus simple pour les calculs dans l'espace 3D de passer par les vecteurs.
Les vecteurs permettent le produit scalaire et le produit vectoriel.

En partant de 2 points P1(x1, y1, z1) et P2(x2, y2, z2) pour simplifier l’écriture le vecteur (P1 ;P2) je l’écrit P1P2 sans la flèche au dessus. Et sa norme je l’écrit |P1P2| .
Donc P1P2 est le vecteur entre ces 2 points et sa norme est |P1P2|

En reprenant les données connues :
OC (F, 0, 0)
OA (0, yA, zA)
Pour le calcul des coordonnées de P je pense qu’il est préférable de passer par P’ qui est la projection de P sur le disque du plan (X = F) suivant la direction du vecteur OP.

L’étape 1 consiste a calculer |AC| - |AP|

Un point P’ du disque a pour coordonnées (F, yP’, zP’) où F est donné, et yP’ et zP’ sont aussi connus et dans le disque de diamètre d centré sur C(F, 0, 0).

Calcul de |AC|
AC = OC – OA
AC = (F-0, 0-yA, 0-zA)
AC = (F, -yA, -zA)
|AC| = sqrt(F² + (-yA)² + (-zA)²)

Calcul de |AP|
A(0, yA, zA)
P’(F, yP’, zP’)
AP’(F, (yP’-yA), (zP’-zA))
AP est colinéaire à AP’ avec |OP| = F
OP’(F, yP’, zP’)
|OP’| = sqrt(F² + (yP’)² + (zP’)²)
OP = (F/ |OP’|) OP’
OP = (F²/sqrt(F² + (yP’)² + (zP’)²), F yP’/sqrt(F² + (yP’)² + (zP’)²), F zP’ /sqrt(F² + (yP’)² + (zP’)²))
AP = OP – OA = (xOP – 0, yOP – yA, zOP – zA) avec xOP, yOP et zOP donnés ci-dessus
donc |AP| = sqrt((xOP)² + (yOP-yA)² + (zOP-zA)²)

Et enfin |AC| - |AP|
|AC| - |AP| = sqrt(F² + (-yA)² + (-zA)²) - sqrt((xOP)² + (yOP-yA)² + (zOP-zA)²)
avec
xOP = F²/sqrt(F² + (yP’)² + (zP’)²)
yOP = F yP’/sqrt(F² + (yP’)² + (zP’)²)
zOP = F zP’/sqrt(F² + (yP’)² + (zP’)²)

Me suis-je trompé dans ces calculs de seulement l’Etape 1 ?