Problème eq diff premier ordre

[Phy_Math]

Bonjour à tous,

Voilà j'ai passé le week end sur des exercices de résolutions d'équations non linéaires (eq caractéristiques des équations de Bürgers) et je bloque sur une résolution d'eq différentielle du premier ordre certainement toute bête mais je ne vois vraiment pas comment faire...

s'(t) = (s(t)-1)/2t
s(2)=3

--> d'où s(t) = 1 + sqrt(2t)

Je me doute bien qu'il s'agit d'une résolution certainement très bête, mais je ne vois pas comment faire sans utiliser la formule classique de résolution d'eq diff du premier ordre avec les exponentielles. Ca a l'air d'être vraiment plus simple que ça... Je me sens un peu bête d'avoir la tête dans les méthodes numériques et de ne pas savoir résoudre ça haha Mais du coup ça me prend pas mal la tête ^^

Merci à ceux qui pourront m'aiguiller :)
Bonne journée!

[arnaud32]

pose u =s-1
et reconnait la derivee de ln(u)

[aymanemaysae]

Au lieu de s(t), je préfère prendre y = s(t).
Avant d'entamer la résolution de cet exercice, ma méthode à moi est de définir un premier ensemble de définition pour y. Comme on a (y-1)/2t, alors je prends IR* pour premier ensemble de définition que je tenterai d'affiner au fil de la résolution.
Comme l'a dit M. Arnaud, il y a des propriétés de l'exercice auxquelles il faut faire attention:
1) y' = (y - 1)/2t <---> (y - 1)' = (y - 1)/2t .
2) Pour faire apparaitre la dérivée du Ln (comme l'a dit M. Arnaud), je dois diviser par y - 1 et donc y ne doit jamais prendre 1 comme valeur, par suite, à la fin de l'exercice je dois prendre en considération cette restriction.

Plan de la résolution de l'exercice:
1) Faire apparaitre la dérivée de Ln:
y' = (y - 1)/2t <---> (y - 1)' = (y - 1)/2t <---> (y - 1)'/(y - 1) = 1/2t = 1/2 (1/t)
<---> (Ln(|y - 1|)' = 1/2 (Ln(|t|))' <---> ?????
2) Pour trouver la constante qui apparait dans la solution, je dois prendre le cas pour t = 2 .

[Black Jack]

s'(t) = (s(t)-1)/2t

s'/(s-1) = 1/(2t)

ds/(s-1) = dt/(2t)

On intègre :

ln|k.(s-1)| = (1/2)ln|2t|

k(s-1) = V(2t)

s = 1 + (1/k).V(2t)

S = 1 + C.V(2t)

S(2) = 3
3 = 1 + C.V(2*2)
C = 1

--> s(t) = 1 + V(2t)

:zen:

[zygomatique]

salut

une primitive de dt/(2t) = (1/2) dt/t est (1/2) ln |t|

ce me semble-t-il ....

[aymanemaysae]

On a y'=(y-1)/2t pour t in IR* <---> (y-1)'=(y-1)/2t pour t in IR*
<---> (y-1)'/(y-1)=1/2t pour t in IR* et y ne prenant pas 1 comme valeur
<---> ( Ln(|y-1|))'=1/2 (Ln(|t|))' pour t in IR* et y ne prenant pas 1 comme valeur
<---> Ln(|y-1|) =1/2 Ln(|t|) + cte pour t in IR* et y ne prenant pas 1 comme valeur
<---> |y-1|=K |t|^(1/2) avec K une constante et t in IR* et y ne prenant pas 1 comme valeur
Comme y = 3 pour t = 2 on a K = 2^(1/2), donc:
y'=(y-1)2t pour t in IR* <---> |y-1|=|2t|^(1/2) avec K une constante et t in IR* et y ne prenant pas 1 comme valeur
<---> y - 1 = u |2t|^(1/2) avec u = +ou- 1, t in IR* et y ne prenant pas 1 comme valeur
<---> y = u |2t|^(1/2) + 1, avec u = +ou- 1, t in IR* et y ne prenant pas 1 comme valeur

Puisque y ne prend la valeur 1 que pour t = 0, donc :
y = u |2t|^(1/2) + 1, avec u = +ou- 1, t in IR* .

J'espère que j'ai suivi le bon chemin, en étant ouvert à toutes remarques.

[Black Jack]

salut

une primitive de dt/(2t) = (1/2) dt/t est (1/2) ln |t|

ce me semble-t-il ....

Essaie donc de dériver (1/2).ln|2t| pour voir si ce que j'ai écrit est faux. :ptdr:

:ptdr:

[zygomatique]

d[(1/2)ln|2t|] = (1/2)d[ln|2t|] ) = (1/2) * 2dt/(2t) = ....

damned !!! effectivement ....


et quel à-priori te permet de choisir celle-là à "la plus classique" ?

:lol3:

[aymanemaysae]

Ln(|t|) = (Ln(t) : si t>0) et (Ln(-t) : si t<0) , donc:
d/dt (Ln(|t|)) = (1/t : si t>0) et (-1/t : si t<0) .