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[FLEURISTIN]

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[aviateur]

Bonjour
D'après tes hypothèses l'addition est commutative et associative donc la somme ne dépend pas de l'ordre des termes et du groupement des termes, i.e

[FLEURISTIN]

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[hdci]

Ca c'est sur, mais c'est un résultat intuitif.

Je pense qu'on peut dire que ce n'est pas que intuitif, puisque commutativité et associativité impliquent que l'ordre des opérations n'a pas d'importance.
Si vous n'êtes vraiment pas convaincu que cela suffit :

• pour vous avez écrit le résultat
  pour : soit
  
• Alors par associativité :
  
  
  
• Là on fait jouer la commutativité dans la grande parenthèse de droite
  
  
• Puis à nouveau l'associativité
  
• Et nous voilà rendu au cas précédent, où

Si vous n'êtes toujours pas convaincu par la manipulation avec l'associativité : si vous ne trouvez pas assez formel qu'écrire suppose que l'on peut mettre les parenthèses "où on veut" si la loi est associative, alors vous devez supposer (pour que votre écriture soit valide) que les opérations se font dans un certain ordre, par exemple, de gauche à droite.


Ce qui s'écrit aussi par récurrence :


Et vous pouvez alors montrer par récurrence et parce que la loi est associative que pour tout , on a


Mais bon, c'est un peu fastidieux...

[FLEURISTIN]

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[aviateur]

Ca c'est sur, mais c'est un résultat intuitif.

Bonjour
Non ce n'est pas du tout intuitif. C'est une évidence ce qui est complètement différent.

[FLEURISTIN]

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[hdci]

On a montré


On considère alors la permutation définie par


On a bien obtenu alors
Ce qui est bien le cas n° 1 (le dernier terme de la somme est )

[FLEURISTIN]

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[Ben314]

Salut,
Je trouve quand même que vous vous faîtes c... pour pas grand chose vu que :

1) Comme le dit hdci, c'est un résultat totalement évident partant de la commutativité et de l’associativité qui, à elle deux, disent que le somme de 3 éléments ne dépend pas de l'ordre dans laquelle on fait la somme.

2.1) On a déjà besoin de l'associativité ne serait-ce que pour définir le symbole vu que pour une loi + non associative, la quantité sans parenthèses n'a pas de sens. Donc si on veut absolument tout démontrer alors avant même d'utiliser le symbole , ben il faudrait commencer par démontrer que l'associativité implique que dans toute somme de la forme A1+A2+...+An, où que l'on place les parenthèses pour n'avoir que des sommes 2 par 2, ça donne le même résultat c'est à dire par exemple que :
((A+B)+C)+D = (A+B)+(C+D) = (A+(B+C))+D = A+((B+C)+D) = A+(B+(C+D))

2.2) La deuxième solution, c'est de définir le symbole par récurrence et donc de prendre comme définition que ce qui permet de lui donner du sens même en cas de non associativité de la loi, et dans ce cas là, la preuve proposée çi dessus (qui fait des sommes de plus de 2 termes) ne marche pas

3) En supposant déjà démontré le point relatif à l'associativité qui permet de définir le symbole sans préciser la position des parenthèses, concernant la commutativité et l'ordre des facteurs, c'est évident vu que le groupe cyclique d'ordre n est trivialement engendré par les transpositions de deux éléments successifs (tu peut évidement ranger des objets alignés du plus petit au plus grand en ne t'autorisant que des échanges de deux objets côte à côte). Et à mon avis, cet argument on ne peut plus simple et clair et largement préférable à toute soit-disant démonstration calculatoire qui ne contiendra forcément que du vent...