Problème de cours sur les groupes...

[Hipollene]

Bonjour !

J'ai plusieurs questions à poser concernant les groupes, les sous-groupes...

1) Sous-groupes de Z :
Pr tt n appartenant à Z, l'ensemble nZ des multiples de n est un sous-groupe de Z. Tt sous-groupe de Z est de cette forme.
=> Je ne comprends pas ce théorème... et qu'est-ce qu'un ensemble de multiples ?

2) Définition d'un morphisme :
=> En quoi de (Z,+) dans (R+*,*), n donne 2^n
(R+*,*) dans (R,+), x donne ln(x)
(C,*) dans (C,*), z donne "z barre" sont des morphismes ?

3)Qu'est-ce qu'un groupe multiplicatif ?

4) Qu'est-ce que des isométries ?

Merci d'avance de me sortir du brouillard ! ^^
A bientôt !

[gol_di_grosso]

Bonjour !

J'ai plusieurs questions à poser concernant les groupes, les sous-groupes...

1) Sous-groupes de Z :
Pr tt n appartenant à Z, l'ensemble nZ des multiples de n est un sous-groupe de Z. Tt sous-groupe de Z est de cette forme.
=> Je ne comprends pas ce théorème... et qu'est-ce qu'un ensemble de multiples ?

nZ c'est l'ensemble des multiple de n c'est l'ensemble des kn avec k appartement à Z
par exemple n=2 c'est les nombre paire 0 2 4 mais aussi -2 -4 -8 ...

[legeniedesalpages]

Salut

Bonjour !

J'ai plusieurs questions à poser concernant les groupes, les sous-groupes...

1) Sous-groupes de Z :
Pr tt n appartenant à Z, l'ensemble nZ des multiples de n est un sous-groupe de Z. Tt sous-groupe de Z est de cette forme.
=> Je ne comprends pas ce théorème... et qu'est-ce qu'un ensemble de multiples ?

Les sous-groupes de Z sont exactement les ensembles de la forme aZ (ensemble des multiples de a)

2) Définition d'un morphisme :
=> En quoi de (Z,+) dans (R+*,*), n donne 2^n
(R+*,*) dans (R,+), x donne ln(x)
(C,*) dans (C,*), z donne "z barre" sont des morphismes ?

Tu vérifies à partir de la définition d'un morphisme

3)Qu'est-ce qu'un groupe multiplicatif ?

C'est un groupe ou la loi est une multiplication, il me semble que c'est le cas de n'importe quel groupe, après je sais pas si on les appelles tous comme ça.

4) Qu'est-ce que des isométries ?

Une bijection d'un espace métrique dans un autre telle que quels que soient x,y dans l'espace de départ.

[klevia]

Salut, Ah les souffarnces du début sur les groupes ... que de bons souvenirs ...
1) on va prendre n=2,
le sous grpes 2Z est {2k / k appartiennent à Z}={0,2,4,6,...,-2,-4,-6,...}
c'est un ssgpe de Z car:
1) 0 appartient à 2Z
2) la somme de nombres pair est pair ( ca marche aussi avec les pairs de Z)
3) soit x=2k appartenant à 2Z alors -2k est son inverse

d'ou 2Z est un sous groupes de Z

2) definition d'un morphisme
f(x+y)=f(x)+f(y)
de (Z,+) dans (R+*,*), n donne 2^n
f(n+m)=2^(n+m)=2^n * 2^m=f(n)+f(m)
je te laisse faire les autres...

3) un groupe multiplicatif est un groupe ou la loi est multiplier.
Exemple simple: {-1,1} est un groupe avec la loi multiplier

4) les isométries sont des applications qui conservent les longueurs:
Ce sont: les rotations; les symetries orthogonales , (lestranslations et leurs composés si tu travailles dans un espaces affine)

[seriousme]

Pr tt n appartenant à Z, l'ensemble nZ des multiples de n est un sous-groupe de Z.

Présence de l'élément neutre :
donc 0 est multiple de tout n et appartient donc à tout ensemble .
Opération interne :
soit .


...