Probleme corps et anneaux

[fabulous]

bonjour j'ai un exercice concernant les anneaux et les corps et je bloque sur une question
voici l'énoncé:
en première question il demande de montrer que l'anneau quotient R[x] / (x²+x+1) est isomorphe C a j'ai reussi a y repondre
ensuite on considère le polynome P(x)=x^3+x+1
j'ai montré qu'il avait une unique racine réelle j'en ai deduit par le theoreme des restes chinois que R[x]/(P) est isomorphe a R*C. j'ai ensuite montré que la racine n'appartient pas a Q et j'en ai donc déduis que Q[x]/(P) est un corps.
je bloque à cette question :

demontrer que Z[x]/(P) est un anneau intègre. est ce un corps?

j'ai une petite indication sur l'exo mais je n'arrive pas à comprendre à quoi cela sert voici l'indication: demontrer que le noyau de Z[x]-> R S-> S(a) (a etant la racine) est encore l'idéal engendré par (P), bien que Z[x] ne soit pas principal

merci beaucoup d'avance pour votre aide

[Nightmare]

salut,

je ne vois pas trop l'utilité de l'indication non plus. Clairement Z[x]/(P) est intègre vu que c'est un sous-anneau de R[X]/(P) qui lui est un corps.

Ce n'est pas un corps car on a des éléments non nuls non inversibles, je te laisse en trouver 1.

[fabulous]

comment prouver que c'est un sous anneau d'un corps? je sais que ca doit pas etre dur mais la j'ai un trou :s

[fabulous]

eu R(x)/(P) n'est pas un corps vu que P n'est pas irréductible sur R[x] :s ! par contre Q[x]/(P) est un corps

[Nightmare]

Oui pardon je voulais dire Q[X]/(P)

[fabulous]

j'ai trouvé comment demontrer l'integrité merci :) et je sais que 2 n'est pas inversible, enfin je le sens mais je sais pas comment partir pour le demontrer

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est ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la piste merci d'avance

[leon1789]

est ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la piste merci d'avance

"Q inversible modulo (P)" est en liaison avec "relation de Bézout entre P et Q" . :id: