Problème de compréhension d'un énoncé

[lightone]

Bonjour, j'ai du mal à comprendre l'énoncé de mon exercice. J'ai cette phrase : on note B la famille de toutes les parties A de oméga.

Alors du coup, est ce que B = Ai pour i de 1 à n?

[LB2]

Bonjour,

Est-ce que Oméga est un ensemble fini?

[lightone]

Non, ça n'est pas précisé. Juste que c'est un ensemble non vide.

[lightone]

Non, ça n'est pas précisé. Juste que c'est un ensemble non vide. Par contre, A est dénombrable

[pascal16]

B = {Ai pour i de 1 à n}, n pouvant être infini

Ai est une partie
B un ensemble de parties

[Ben314]

B = {Ai pour i de 1 à n}, n pouvant être infini

?????????


Pour moi, le problème, c'est que le terme de "famille", en math., je suis pas sûr qu'il y ait une définition parfaitement carrée admise par tout le monde.
Le contexte dans lequel le mot revient très souvent, c'est l'algèbre linéaire où on parle de "famille libre" et de "famille liée" et dans ce contexte là, une "famille", c'est pas un ensemble : il me semble clair qu'une "famille" de vecteurs, ça peut contenir deux fois le même vecteur alors que ça n'a aucun sens de dire qu'un ensemble contient deux fois le même élément. Par contre, c'est un peu moins clair de savoir si, dans la définition du mot "famille" l'ordre a une importance vu que concernant le fait d'être libre ou lié, l'ordre n'a pas d'importance, mais par contre, c'est clair que pour une base, ça a de l'importance : la base (i,j), c'est évidement pas la même que la base (j,i).

Bon, bref, tout ce (long) laïus pour dire qu'à mon avis, tu n'a qu'à faire comme si ce qui était écrit c'était "Soit B l'ensemble de toute les parties de Omega" : on verra en fonction des questions posées dans la suite de l'exo. si cette interprétation de l'énoncé est gênante ou pas.
Donc si A c'est l'ensemble contenant les éléments et c'est à dire alors B c'est l'ensemble contenant toutes les parties de A, à savoir et :

[lightone]

Le problème, c'est qu'il y a des informations sur A, A est dénombrable ou oméga privé de A est dénombrable. Du coup, je pense que je ne peux pas me passer de ça. Je dois prouver que B est une tribu de partie de oméga.

[Ben314]

Alors, ça répond parfaitement à la question : une tribu c'est (par définition) un ensemble (de parties) donc le B de ton énoncé, c'est effectivement un ensemble et pas autre chose.

[lightone]

Ah j'avais pas vu la fin du long message. Je comprend un peu mieux, merci.

[lightone]

Dans ce cas, peut on dire que B = P(A)?

[LB2]

pardon mais je n'ai rien compris à ton énoncé... Est-ce que tu peux le reprendre à zéro s'il te plait? Merci

[lightone]

J'ai pas mis l'énoncé complet, j'ai juste mis la partie que je ne comprend pas.

[LB2]

oui mais l'ensemble ne fait aucun sens... c'est dommage en mathématiques n'est-ce pas?

[Ben314]

Juste pour voir si ma boule de cristal continue à fonctionner...

On considère un ensemble Omega quelconque et on note B l'ensemble des parties A de Omega telles que A soit dénombrable ou bien que Omega \ A soit dénombrable.
Montrer que B est une tribu sur Omega [+ éventuellement] et que c'est la tribu engendrée par l'ensemble des singletons.

[lightone]

Ben314, j'ai juste la première partie de ce que tu as dit à faire. Et oméga est non vide

[Ben314]

Le fait que Omega est non vide ne sert à rien à part éventuellement à rassurer les étudiants qui pourraient croire (à tort) que ça va être un cas particulier.

Sinon, ce type d'exo., à mon avis, il faut absolument apprendre à le faire tout seul : le seul truc qu'on te demande de faire, c'est
(1) de lire la définition de ce qu'est une "tribu" et éventuellement de la recopier dans ta copie.
(2) de retranscrire ce que ça signifie dans le contexte présent.
Ensuite, comme tout les exo. de base, c'est quasi terminé vu que, une fois le truc retranscrit, tout est évident (modulo bien entendu d'avoir à peu prés acquis les propriétés des ensembles dénombrables).

[lightone]

A oui ba je compte le faire seul. J'avais juste besoin qu'on m'éclaire sur l'énoncé. Après, on m'a demandé l'exercice complet, je l'ai mis mais je ne demande pas qu'on m'aide à le résoudre

[LB2]

Merci Ben pour avoir retro engineer l'énoncé (sic) . Effectivement pas grand chose à faire, à part connaître et écrire la définition d'une tribu. Maintenant, pour rendre l'exercice un peu plus intéressant et formateur, je propose :
- sais tu démontrer qu'une union dénombrable de dénombrables est dénombrable ?
- (pour motiver la notion de tribu) si Omega est infini, par exemple le segment [0,1], à quoi ressemble P(Omega) et est-ce qu'on peut munir P(Omega) d'une probabilité ? Autrement dit, peut-on "mesurer" n'importe quelle partie de [0,1] ? Et si on se limite à certaines parties?