Problème de cauchy

[C.F]

bonjour est ce que quelqu'un pourrait me donner quelque piste pour déterminer la solution du problème de cauchy suivant?
merci d'avance
x'=x²
x(o)=1

[Thierry Courtin]

Remarquez que . Alors, où c is constant

[C.F]

et du coup je justifie que la solution est différente de la sotution nulle en fonction du resultat que je trouve à la fin?

de plus je voulais savoir,est ce qu'en examen on à la droit d'utiliser

1)
*le théorème de cauchy sous cette forme: soit f R,->rn,xo qui appartient à Rn alors le pb u'(t)=f(u(t)) et u(o)=xo admet une unique solution maximale définie sur l'intervalle le plus grand possible ]Tmin;Tmax[

2)
* si f:Rn->Rn est de classe C1 et si xo est un point d'équilibre alors on a la solution de u'(t)=f(u(t)) et u(o)=xo est la fonction U:Rn->Rn ,t->xo

3)
* si f:Rn->Rn est de classe C1 et si xo est un point d'équilibre,xo différent de U solution de x1 u'(t)=f(u(t)) et u(o)=x1.Alors il n'existe pas de T tel que U(T)=x0

[Aspx]

Vu Cauchy-Lipschitz (version non linéaire) il existe une unique solution maximale à ce problème de Cauchy.
Comme le montre Thierry Courtin c'est , définie sur .
Elle est bien maximale donc c'est bien celle que l'on cherche où est le problème ?