Probleme bornes et ensemble

[Anonyme]

Bonsoir J'ai un probleme plutot long en plusieurs parties pour prouver une propriété mais même si je comprends j'ai vraiment du mal pour la rédaction ...

Soit f : [0,1] --> [0,1] une application croissante A = { x € [0,1] / x < ou = f(x) }
1) montrer que A admet une borne supérieure que l'on note a
2 ) montrer que a € [0,1]


Merci d'avance pour ce commencement

[becirj]

Bonsoir
1. donc A est non vide
A non vide majoré par 1 possède une borne sup.

2.
donc

[Alpha]

Salut, la 2) est évidente,

car, , donc par définition de la borne supérieure (le plus petit des majorants).

[Anonyme]

Merci j'ai pas mal avancé mais je bloque a nouveau je vous met les 2 questions précédentes que j'ai reussies .

6) montrer que f(a) est un majorant de A et que a € A ( réussie )
7) On suppose que a = 1. Montrer que f(1) = 1 ( réussie )
8) On suppose que a € [0,1[ montrer que f(a) est un minorant de ]a,1] puis f(a)=a ( je crois que c'es le ]a,1] qui me perturbe, je vois pas trop comment démontrer )

9) En déduire que pour toute application croissante f : [0,1] --> [0,1], l'équation f(x) = x admet au moins une solution ( bon c'est une conclusion je pense y arriver un fois éclairé sur la précédente )

Merci !

[becirj]

8. Soit x> majorant de A donc x n'appartient pas à A d'où puisque f est croissante donc f(a) est un minorant de ]a,1]
On a donc donc par conséquent f(a) appartient à A d'où
Conclusion

[Anonyme]

Merci beaucoup, je conclus maintenant puis je passe aux parties 2 et 3 du probleme ;).