Problème avec les différentielles

[vincent11]

Bonsoir,
j'ai un soucis avec un type d'exercice avec les différentielles.
J'ai bien compris le chapitre car la ou je suis on nous demande que si une différentielles est totale exate (DTE) mais en ouvrant les annales j'ai vu des exos dont je bloque complètement, et a une semaine de mon concours PAS D'IMPASSE.
Donc si quelqu'un pourrait m'éclairer, me donner les démarches, ou la méthode a suivre ca serait cool.

Voici lexo :

On se propose de chercher une fontion f(x), fontion seulement de x, telle que le produit : w1=f(x).w(x,y)

1°a) Donner l'ensemble des fontions f(x) telle que w1(x,y) soit une différentielle totale exacte

b) Donner les expressions de f(x) et w1(x,y)à quand f(1)=1

2°a)On suppose que la forme w2(x,y) = y²/x² dx + (1-2y/x) dy
On se propose de déterminer g(x,y) telle que sa différentielle soit égale a w2. ON apellera K(x) la cte d'intégration

b)Par dérivation de g(x,y) déterminer K'

c) déduire de l'expression de g(x,y)


Voila c'est que je ne sais pas ce qu'il faut faire.



Voila, merci a ceux qui pourront m'aider :)

[houda 20]

On se propose de chercher une fontion f(x), fontion seulement de x, telle que le produit : w1=f(x).w(x,y)......?
aucune information sur W(x,y)??
je vais supposer que w(x,y) est une forme différentielle de la forme
P*dx+Q*dy
et qu'elle est définie sue R^2 qui est un ouvert étoilé
f s'appelle un facteur intégrant,elle est définie de R^2 dans R mais ne dépend que de x
w1=f*P*dx+f*Q*dy=P1*dx+Q1*dy
pour que w1 soit exacte il suffit qu'elle soit fermé puisqu'elle est définie sur R^2 qui est étoilé et donc elle sera exacte d'après poincaré

DyP1=DxQ1 donne que w1 est fermé

DyP1=f*DyP "f(x) est considérée comme constante"
DxQ1 =f'(x)*Q+f*DxQ
alors il faut que f*DyP=f'(x)*Q+f*DxQ

f*(DyP-DxQ)=f'(x)*Q
je pense que f doit vérifier cette relation....
normalement c'est ça........

[houda 20]

On se propose de chercher une fontion f(x), fontion seulement de x, telle que le produit : w1=f(x).w(x,y)......?
aucune information sur W(x,y)??
je vais supposer que w(x,y) est une forme différentielle de la forme
P*dx+Q*dy
et qu'elle est définie sue R^2 qui est un ouvert étoilé
f s'appelle un facteur intégrant,elle est définie de R^2 dans R mais ne dépend que de x
w1=f*P*dx+f*Q*dy=P1*dx+Q1*dy
pour que w1 soit exacte il suffit qu'elle soit fermé puisqu'elle est définie sur R^2 qui est étoilé et donc elle sera exacte d'après poincaré

DyP1=DxQ1 donne que w1 est fermé

DyP1=f*DyP "f(x) est considérée comme constante"
DxQ1 =f'(x)*Q+f*DxQ
alors il faut que f*DyP=f'(x)*Q+f*DxQ

f*(DyP-DxQ)=f'(x)*Q
je pense que f doit vérifier cette relation....
normalement c'est ça........

[houda 20]

f/f'=Q/(DyP-DxQ)
ce qui va donner que
f= F(y)*exp[intégrale (Q/(DyP-DxQ))]
F(y) car on a intégré par rapport à x

remarque
notre w est obligatoirement non fermé
d'ailleurs c'est pour cela qu'on utilise le facteur intégrant

[houda 20]

pour la deuxième question

1=f(1)= F(y)*exp[intégrale (Q(1,y)/(DyP(1,y)-DxQ(1,y)))]
de là tu aura ton F(y) et tu remplaces

[houda 20]

d(g(x,y))=Dxg(x,y) dx +Dyg(x,y) dy

donc par identification
Dxg(x,y)=y²/x²
Dyg(x,y)= (1-2y/x)

puisqu'on veut la constante K(x) tu intègres la deuxième, c'est elle qui te donneras la constante en x
et après tu dérives par rapport à x
tu identifies avec la première et tu extrait ton k'(x)
tu résouds l'eq différentielle et c'est bon

[houda 20]

t'es sur de w2
il y a certaine chose qui cloche là dans les calculs

[houda 20]

déjà ton w2 n'est pas fermé et donc elle n'est pas exacte
i.e qu'elle n'admet pas de primitive
vérifie Dy(y²/x²) est différent de Dx (1-2y/x) ????

[houda 20]

alors quoi pour w2???????????

[vincent11]

Désolé du retard, oui W2 est une dte , mais pour le seconde partie je pense que je sais pas faire. C'est vachement guidé ds l'exo comme il est présenté.
Par contre, pour la question 1 je ne comprend ce que veux dire R^2 (ouvert étoilé) ....