Problème avec les barycentres

[neuneu]

bonsoir j'ai voulu faire un exo dans un livre mais je ne comprends pas la correction; si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plait.
J'ai mis en bleu par la suite mes commentaires pour que vous puissiez voir où je bloque.

On considère 3 points A,B,C non alignés et trois réel a,b,c différents de 1.
On pose
L=bar{(B,1),(C,-a)}
M=bar{(C,1),(A,-b)}
N=bar{(A,1),(B,-c)}
La question est :
Quelle est la relation algébrique entre a,b, c qui exprime que L,M et N sont alignés? Si c'est le cas, déterminer d et e pour que L=bar{(M,d),(N,e)}

Réponse du livre:
L,M et N sont alignés ssi il existe 2 scalaires d,e tq d+e=1 et L=bar{(M,d),(N,e)}
çà je comprends

Comme:
bar{(M,d),(N,e)}= bar {(A,-db/(1-b)+e/(1-c)),(B,-ec/(1-c)),(C,d/(1-b)}
je ne comprends pas du tout ce qu'ils ont fait, comment ils font?
Comment on peut exprimer (M,d) en sachant que M=bar{(C,1),(A,-b)}?
je remplace (M,d) par (C,1*d),(A,-b*d)?
puis je fais pareil avec (N,e), je le remplace par (A,1*e),(B,-c*e)?
si je fais çà j'obtiens bar{(M,d),(N,e)}=bar{(C,1*d),(A,-b*d),(A,1*e),(B,-c*e)}
ce qui donne bar{(M,d),(N,e)}=bar{(A,-b*d+e),(B,-c*e)(C,d)}?
mais je n'ai pas de dénominateur...

Après ils écrivent
On cherche d et e tq d+e=1 et
-db(1-c)+e(1-b)=0
-ec=(1-c)/(1-a)
et d=-(1-b)a/(1-a)
On obtient la condition abc=1

Je ne comprends pas encore ce qu'ils font ici, je pensais qu'il fallait retomber sur les masses que l'on a pour L
cad que comme L=bar{(B,1),(C,-a)} je voulais
-db(1-c)+e(1-b)=0
-ec/(1-c)=1
et d/(1-b)=-a

mais je ne comprends pas grand chose
merci par avance pour votre aide

[klevia]

Salut, j'ai pas lu ton post mais j'ai fait l'exercice, je te donne ma correction. Essaie de voir si cela te parait plus clair ...

L=bar{(B,1),(C,-a)} <=> LB- a LC=0
M=bar{(C,1),(A,-b)} <=> MC - b MA = 0 <=> MC = b MA
N=bar{(A,1),(B,-c)} <=> NA - c NB = 0 <=> NB = (1/c) NA

LB - a LC =
LN + NB - a LM - a MC =
LN + (1/c) NA - a LM - ab MA =
LN + (1/c) NL + (1/c) LA - a LM - ab ML - ab LA =
( 1 - 1/c) LN + (ab - a ) LM + ( 1/c - ab ) LA = 0

d'ou si 1/c - ab= 0 ie abc = 1
L = bar { ( N,(1-1/c) ) ; ( M ( ab - a ) ) }
Je trouve donc bien la relation sur abc, je te laisse vérifier que mes coefficients sont aussi bons ...

[neuneu]

merci !!
je comprends ce que tu as fait mais est ce que tu pourrais me dire comment on peut regrouper des barycentres s'il te plaît

Je veux exprimer (M,d) en sachant que M=bar{(C,1),(A,-b)}
est ce que je dois remplacer (M,d) par (C,1*d),(A,-b*d)?
puis pareil avec (N,e), je le remplace par (A,1*e),(B,-c*e)
ce qui me donne bar{(M,d),(N,e)}=bar{(C,1*d),(A,-b*d),(A,1*e),(B,-c*e)}
autrement dit bar{(M,d),(N,e)}=bar{(A,-b*d+e),(B,-c*e)(C,d)}?
bon j'ai toujours un problème de dénominateur