Problème Arithmétique Prepa MPSI

[Hallisou]

Bonjour, voilà plusieurs jours que je travaille sur un DM à rendre à la rentrée. J'aimerais beaucoup avoir votre aide.

Voici le sujet:
"Pour n dans N*, on note d(n) le nombre de diviseurs de n dans N* et on note D(n)=(1/n)Σ(j=1 à n) d(j), c'est le nombre moyen de diviseurs d'un entier compris entre 1 et n.
On note P l'ensemble des nombres premiers.

1.a. Calculer d(n) pour n dans [[1,20]] et en déduire D(20).
J'ai trouvé ici 3,3.

1.b. Soit p dans P et α dans N*. Que vaut d(pˆα)?
J'ai dit que les diviseurs de pˆα sont les pˆk avec 0<=k<=α. Il y en a donc α+1. Est-ce une justification suffisante?

1.c Soit (p,q) dans P^2. Que vaut d(pq)?
Je n'ai pas trouvé cette question. Je me demandais si 4 n'était pas solution? Mais alors si p=q c'est faux...

1.d. Soit n dans N* qu'on décompose en produit de nombres premiers deux à deux différents: n=p1^α1×p2^α2...×pk^αk avec (α1...αk) dans (N*)^k.
Montrer que d(n)=Π(j=1 à k) (αj+1).
J'imagine que cette question utilise les deux précédentes mais je ne vois pas quelle est la justification rigoureuse.

1.e. Soit (m,n) dans (N*)^2 tels que pgcd(m,n)=1. Montrer que d(mn)=d(m)d(n).
Je suis partie sur la decomposition en facteurs premiers de m et n avec chacun des nombres premiers différents, cad: n=p1^α1...×pk^αk et m=q1^β1...×qr^βr avec p et q différents. mais je ne vois pas comment écrire d(mn) car même en utilisant la question précédente, je ne sais pas comment combiner les puissances (je ne sais pas si c'est très clair...).

1.f. Déterminer le plus petit entier ayant 10 diviseurs dans N*.
On cherche le plus petit entier n tel que d(n)=10=2×5. J'ai donc pris le plus petit entier pour lequel d(..)=2 cad 2 et de même pour 5 cad 16 et alors n=2×16=32 mais je me suis aperçu en vérifiant que 32 avait moins de 10 diviseurs donc je ne vois pas quoi chercher.

2. Je n'ai absolument aucune idée pour cette partie. Je vous serais donc très reconnaissant pour votre aide.

Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.

a. Soit n dans N* et (j,k) dans [[1,n]]^2. Montrer que Σ(l=1 à n) d<l,j> = d(j) et que Σ(l=1 à n) d<k,l> = partie entière de n/k.

b. Pour n dans N*, on note hn = Σ(i=1 à n) 1/i. Montrer qu'on a hn - 1 <= D(n) <= hn.

c. En déduire que D(n)->+inf et que D(n)/ln n->1."


Voilà voilà... J'espère que vous pourrez m'aider et je suis désolée si la présentation ou l'écriture des calculs etc. n'est pas parfaite, je ne savais pas comment mettre en page ici.

Merci par avance !

Un étudiant désespéré

[mathelot]

Voici le sujet:
"Pour n dans N*, on note d(n) le nombre de diviseurs de n dans N* et on note D(n)=(1/n)Σ(j=1 à n) d(j), c'est le nombre moyen de diviseurs d'un entier compris entre 1 et n.
On note P l'ensemble des nombres premiers.

1.a. Calculer d(n) pour n dans [[1,20]] et en déduire D(20).
J'ai trouvé ici 3,3.
je trouve pareil

1.b. Soit p dans P et α dans N*. Que vaut d(pˆα)?
J'ai dit que les diviseurs de pˆα sont les pˆk avec 0<=k<=α. Il y en a donc α+1. Est-ce une justification suffisante?
oui, la justification est suffisante

1.c Soit (p,q) dans P^2. Que vaut d(pq)?
Je n'ai pas trouvé cette question. Je me demandais si 4 n'était pas solution? Mais alors si p=q c'est faux...
d(pq)=4 si p q et


1.d. Soit n dans N* qu'on décompose en produit de nombres premiers deux à deux différents: n=p1^α1×p2^α2...×pk^αk avec (α1...αk) dans (N*)^k.
Montrer que d(n)=Π(j=1 à k) (αj+1).
J'imagine que cette question utilise les deux précédentes mais je ne vois pas quelle est la justification rigoureuse.
un diviseur de n est de la forme avec pour i de 1 à k.
il y a donc possibilités pour le facteur , ... possibilités pour le facteur , et les nombres de diviseurs se multiplient,
car les possibilités, elles aussi se multiplient.
,
1.e. Soit (m,n) dans (N*)^2 tels que pgcd(m,n)=1. Montrer que d(mn)=d(m)d(n).
Je suis partie sur la decomposition en facteurs premiers de m et n avec chacun des nombres premiers différents, cad: n=p1^α1...×pk^αk et m=q1^β1...×qr^βr avec p et q différents. mais je ne vois pas comment écrire d(mn) car même en utilisant la question précédente, je ne sais pas comment combiner les puissances (je ne sais pas si c'est très clair...).
la question 1.d fournit une formule pour calculer d(mn),d(m),d(n).Les sont tous différents des

1.f. Déterminer le plus petit entier ayant 10 diviseurs dans N*.
On cherche le plus petit entier n tel que d(n)=10=2×5. J'ai donc pris le plus petit entier pour lequel d(..)=2 cad 2 et de même pour 5 cad 16 et alors n=2×16=32 mais je me suis aperçu en vérifiant que 32 avait moins de 10 diviseurs donc je ne vois pas quoi chercher.
je tenterais

2. Je n'ai absolument aucune idée pour cette partie. Je vous serais donc très reconnaissant pour votre aide.

Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.
je n'ai pas compris la notation. d<k,j>=1 si k divise j ?

[mathelot]

2.
Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.

a. Soit n dans N* et (j,k) dans [[1,n]]^2. Montrer que Σ(l=1 à n) d<l,j> = d(j) et que Σ(l=1 à n) d<k,l> = partie entière de n/k.

[Hallisou]

Merci beaucoup pour votre réponse !
Comment trouver vous 2^4 x 3^1 dans la 1.f?
Et je suis désolé pour les notations. C'est en fait d_k,j (: d indice k,j). Et c'est en fait que d_k,j prend la valeur 1 si k divise j et d_k,j prend la valeur 0 sinon.
J'espère que ça éclaircit la situation.

Encore merci.

[mathelot]

2.

Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.

a. Soit n dans N* et (j,k) dans [[1,n]]^2. Montrer que Σ(l=1 à n) d<l,j> = d(j) et que Σ(l=1 à n) d<k,l> = partie entière de n/k.

[mathelot]

Comment trouver vous 2^4 x 3^1 dans la 1.f?

soit m le plus petit entier tel que
un diviseur d de m s'écrit et

on a comme possibilités:
ce qui donne
et ce qui donne

[Hallisou]

2.
Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.

a. Soit n dans N* et (j,k) dans [[1,n]]^2. Montrer que Σ(l=1 à n) d<l,j> = d(j) et que Σ(l=1 à n) d<k,l> = partie entière de n/k.

Merci pour vos réponses.
Je n'ai pas bien compris le passage de la première somme à la deuxième. Pouvez-vous me l'expliquer s'il-vous-plaît?

[Hallisou]

2.

Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.

a. Soit n dans N* et (j,k) dans [[1,n]]^2. Montrer que Σ(l=1 à n) d<l,j> = d(j) et que Σ(l=1 à n) d<k,l> = partie entière de n/k.

Ici, je ne vois pas ce que représente mk. Est-ce juste une écriture que vous posez?

[Hallisou]

Comment trouver vous 2^4 x 3^1 dans la 1.f?

soit m le plus petit entier tel que
un diviseur d de m s'écrit et

on a comme possibilités:
ce qui donne
et ce qui donne

Merci beaucoup pour cette explication. J'ai bien compris.

[mathelot]

2.
Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.

a. Soit n dans N* et (j,k) dans [[1,n]]^2. Montrer que Σ(l=1 à n) d<l,j> = d(j) et que Σ(l=1 à n) d<k,l> = partie entière de n/k.

Merci pour vos réponses.
Je n'ai pas bien compris le passage de la première somme à la deuxième. Pouvez-vous me l'expliquer s'il-vous-plaît?

il suffit d'additionner les termes non nuls, dans une somme. d<i,j> est non nul et vaut 1 seulement dans le cas où i divise j. on fait donc la somme pour les indices i qui divisent j

[Hallisou]

Merci beaucoup.

[mathelot]

2.

Pour (j,k) dans (N*)^2, on pose d<k,j>=1 si k diviseurs j, 0 sinon.

a. Soit n dans N* et (j,k) dans [[1,n]]^2. Montrer que Σ(l=1 à n) d<l,j> = d(j) et que Σ(l=1 à n) d<k,l> = partie entière de n/k.

Ici, je ne vois pas ce que représente mk. Est-ce juste une écriture que vous posez?

mk est le produit des deux entiers m et k.
comme k divise j et que l'on somme sur j, on somme sur les multiples de k, de la forme
et m varie donc de 1 à [n/k]

[Hallisou]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide. Je vous suis très reconnaissant.

Avez-vous des pistes pour les questions b et c?

[mathelot]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide. Je vous suis très reconnaissant.

Avez-vous des pistes pour les questions b et c?

je sèche sur la b) mais je sais faire la c)

pour la b) c'est :

ou ?

[Hallisou]

Pourriez-vous s'il-vous-plaît envoyer ce que vous avez pour la c?

[mathelot]

pour la b) c'est :

ou ?

[Hallisou]

pour la b) c'est :

ou ?

C'est :

[mathelot]

merci.

Quel résultat du cours as tu à propos de la série harmonique hn ? c'est une somme très étudiée , vous l'avez vue en cours ?

[Hallisou]

Oui, nous l'avons vue. On a dit qu'elle est croissante et diverge vers +inf. Et à l'aide des suites h_n - ln (n+1) et h_n - ln(n), nous avons dit qu'on peut écrire : h_n = 1 + gamma / ln(n) + epsilon(n) / ln(n) avec epsilon(n)->0 et nous avons également montré que h_n et ln(n) sont équivalentes (avec h_n / ln(n) ->1)

[mathelot]

pourquoi ?