Problème d’arithm

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elpueblo
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problème d’arithm

par elpueblo » 07 Fév 2019, 16:22

Bonjour,
Je sèche face à cet exercice d’arithmetique:
B est puissance pure s’il existe a>1 et k>1 tel que b=a^k
1) si p est premier, et x un entier tel que x=p[p^2] prouvez que x n’est pas une puissance pure
2) prouvez que pour tt entier n>0, il existe n entiers consécutifs dont aucun n’est puissance pure


Pour la 1) j’ai decidé de faire par l’absurde:
J’ai supposé que x est puissance pure,
Donc il existe a et k >1 tel que x=a^k
D’où a^k =(p^2)q+p
A^k= p(pq+1)
A^k | p et a^k | pq+1
De même a |p et a | pq+1
Et p est premier donc c’est absurde?

2) je n’arrive pas à commencer
Merci



Rdvn
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Re: problème d’arithm

par Rdvn » 09 Fév 2019, 16:11

Bonjour
La fin de la solution du 1) ne va pas :
suivant le raisonnement par l'absurde exposé :
a^k = p(1+p.q), p divise a^k et p est premier, donc p divise a ( conséquence du théorème de Gauss),
en revanche il n'y a aucune raison que 1+p.q soit premier, donc il n'est pas prouvé qu'il divise a .
D'ailleurs on n'en a nullement besoin : a=t.p donc a^k=(t^k).(p^k), puis en reportant ci dessus
a^k=(t^k).(p^k)=p(1+p.q) donc (t^k).(p^(k-1))=(1+p.q) avec k>1 et de là ... la conclusion...
Cdlt

elpueblo
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Re: problème d’arithm

par elpueblo » 11 Fév 2019, 23:39

Je n’arrive pas à comprendre où vous voyez une conclusion absurde concernant quelque chose qui divise P premier. Deplus 1+pq comme vous l’avez dit n’est pas premier du moins nous le savons pas.
Concernant la question 2 j’ai commencé pzr etablir un système de congruences avec
X=p1[p1^2]
X+1=p2[p2^2]
Je vais utiliser le lemme chinois
Merci

Rdvn
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Re: problème d’arithm

par Rdvn » 12 Fév 2019, 16:02

Bonjour
La fin, donc : (toujours sous l'hypothèse du départ : x est puissance pure)
(t^k).(p^(k-1))=(1+p.q) avec k>1, autrement dit k-1>0, donc p divise 1+p.q , or ceci est faux car le reste de la division de 1+p.q par p est 1. Ce qui termine la démonstration par l'absurde.
Cordialement

elpueblo
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Re: problème d’arithm

par elpueblo » 12 Fév 2019, 16:23

Ohhhhh je suis bête, j’avais pas vu ça comme ça...
Merci bien

 

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