Probleme d'algèbre !!!

par **valvalval14** » 04 Juin 2009, 19:16

bonjour à tous,

je seche sur un exo d'algebre euclidienne :

soit f un endomorphisme antisymetrique de E, espace euclidien.
montrer l'existence d'une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de f a la forme : diag(A1,A2,...,Ap,0,0,...,0) (matrice diagonale) avec
(0 -ai)=Ai (matrice 2x2)
(-ai 0)

on m'indique de procéder par récurrence sur dim(E) et d'utiliser un vecteur propre de f² (qui est symetrique) .

merci

par **Nightmare** » 04 Juin 2009, 19:39

Salut :happy3:

Piste :

Considère un vecteur propre x de f² (existe-t-il toujours?) et montre que Im(f) est somme directe de A=vect(x,f(x)) et de Im(f') où f' est la restriction de f à l'orthogonal de A.

par **valvalval14** » 04 Juin 2009, 20:28

désolé, je ne vois pas trop ce où cela nous mène. je pensais faire un raisonnement analogue à la démonstration du théorème spectral par réccurence sur n=dim(E) mais je bloque ...

par **Nightmare** » 04 Juin 2009, 21:56

Considère une base formée d'une base orthonormée de A et d'une base orthonormée de Im(f').

par **valvalval14** » 05 Juin 2009, 21:34

merci pour l'aide. j'ai réussi :++:

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