Problème d'algèbre

[Crazyfrog]

Bonjour je bloque sur un exercice:
Donner des équations cartésienne et paramétriques du plan de R3 passant par la droite d'équations
D1: x+y-z-1=0
2x-y+z+3=0

et parallèle à la droite d'équations
D2: 4x+y-z-1=0
x+y+1=0

soient (1,-2,1) et (0,-1,-2) deux points de D2, le vecteur normal du plan est perpendiculaire au vecteur (1,-1,3) donc a -b+3c=0 avec (a,b,c) le vecteur normal du plan
Soit (-2/3,5/3,0) un point de D1, le plan contient ce point donc -a2/3 + b5/3 = d
si c=-1
a=3+b
(-6-2b)/3 + b5/3 = d
3b = 3d + 6
pour d=1, b=3, a=6
Donc 6x + 3y -z =1
je suis pas sur de pouvoir choisir une valeur arbitraire de d comme je l'ai fait
et je ne sais pas comment passer d'une équation certésienne d'un plan vers ses équations paramétriques

[siger]

bonsoir

effectivement si N1 et N2 sont les normales aux plans definissant D2 avec V le vecteur directeur de D2 est donné par V.N1=0 et V .N2=0
d'ou V(1,-1,3) et a -b +3c = 0

par contre il ne suffit pas d'ecrire qu'un point de D1 est dans le plan P cherché.....
on peut : soit ecrire qu'un autre point de D1 est dans le plan ( donc la droite)
ou bien ecrire que D1 est parallele au plan P, donc que la normale au plan P est perpendiculaire a V1 vecteur directeur de D1 et quece planP contient unpoint de D1

sauf erreur on obtient b+c=0
on a deux equation pour trois inconnues on peut donc choisir l'une d'elle arbitrairement.
ce qui conduit a l'equation du plan P


en parametrique un plan est defini par la projection sur les axes de la relation vectorielle suivante
: AM = m*V1 + n*V2
V1(v1x,v1y,v1z) et V2(...) étant deux vecteurs du plan
d'ou
x = xA + m* v1x+n*v2x
y = yA...
z = zA...
de meme une droite(passant par A et de vecteur V) est definie de maniere identique par
x= xA+p*vx
y = yA + p*vy
z= zA +p*vz
......
par exemple pour D2 on obtient (sauf erreur, avec le point 0,-1,-2)
x= p
y = -1-p
z= -2+3p
.....
de meme D1....
d'ou P

[Crazyfrog]

donc si (0,1,1) vecteur de D1 et (1,-1,3) vecteur de D2 et (-2/3,5/3,0) point de D1
x=-2/3 + v
y= 5/3+ w -v
z=w +3v
est une équation du plan
j'avais interprété plan passant par D1 par plan coupant D1 en un point, mais imaginons que D1 et D2 soient des droites qui se coupent entre elles alors pour que le plan soit parallèle à D2 et ne la contienne donc pas le plan devrait couper D1 en un point et ne lui serait pas parallèle si je ne m'abuse :doh:

[siger]

re

dans le cas de deux droites secantes le plan est unique et les contient toutes les deux, puisque deux droites parallèles ou secantes déterminent un plan par definition

[Crazyfrog]

je pensais que un plan parallèle à une droite ne devait pas la contenir

[siger]

re

c'est exact......
ce qui veut dire que l'exercice n'aurait pas de sens si les droites etaient concourantes.....

[chan79]

salut
D1 est dirigée par(0,1,1) et D2 par (1,-1,3)
Le produit vectoriel de ces deux vecteurs est normal au plan cherché.
J'arrive à 4x+y-z+1=0

(si une droite est incluse dans un plan, elle est parallèle à ce plan)

[siger]

re

l'equation parametrique
x = -2/3 + v
y = 5/3 +w - v
z = w + 3v
permet en eliminant v et w de retrouver l'equation cartesienne
v = x +2/3
w = y - 5/3 +x +2/3 = z - 6/3 - 3x
et 4x +y -z +1=0