Bonjour à tous,
Je poste ce message car j'ai quelques difficultés avec trois exercices si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment sympa .
voici les exercices en question.
exercice n°1
a/ Montrer que si la famille (f(e1),....,f(en)) est libre, alors la famille (e1,...,en) est libre.
b/ On suppose f injective. Montrer que si la famille (e1,...,en) est libre, alors la famille (f(e1),....,f(en)) est libre.
exercice n°2
si E est un espace de dimension finie et f un endomorphisme de E.
a/ Montrer que ker f c ker f^2
b/ Montrer que Im f^2 c Im f
c/ Montrer l'équivalence des trois propositions :
1/ ker f = ker f^2
2/ Im f = Im f^2
3/ E = Ker f + Im f
exercice n°3
n
soit A e (appartenant) Mn(R). On définie la trace de A par : Tr(A) = Σ aii.
i=1
a/ Montrer que Tr est une forme linéaire définie dans Mn(R).
b/ Montrer par le calcule que Tr(AB) = Tr(BA)
c/ Si A et A' sont deux matrices représentant le même endomorphisme dans deux bases différentes, montrer que Tr(A) = Tr(A')
Merci de vôtre aide !
bonne journée/soirée !!