Problème en algèbre linéaire

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Marvin95G
Messages: 1
Enregistré le: 16 Déc 2018, 16:38

Problème en algèbre linéaire

par Marvin95G » 16 Déc 2018, 16:42

Bonjour à tous,
Je poste ce message car j'ai quelques difficultés avec trois exercices si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment sympa ;-) .

voici les exercices en question.


exercice n°1

a/ Montrer que si la famille (f(e1),....,f(en)) est libre, alors la famille (e1,...,en) est libre.

b/ On suppose f injective. Montrer que si la famille (e1,...,en) est libre, alors la famille (f(e1),....,f(en)) est libre.

exercice n°2

si E est un espace de dimension finie et f un endomorphisme de E.

a/ Montrer que ker f c ker f^2

b/ Montrer que Im f^2 c Im f

c/ Montrer l'équivalence des trois propositions :

1/ ker f = ker f^2
2/ Im f = Im f^2
3/ E = Ker f + Im f

exercice n°3
n
soit A e (appartenant) Mn(R). On définie la trace de A par : Tr(A) = Σ aii.
i=1

a/ Montrer que Tr est une forme linéaire définie dans Mn(R).

b/ Montrer par le calcule que Tr(AB) = Tr(BA)

c/ Si A et A' sont deux matrices représentant le même endomorphisme dans deux bases différentes, montrer que Tr(A) = Tr(A')


Merci de vôtre aide !

bonne journée/soirée !!



LB2
Habitué(e)
Messages: 1504
Enregistré le: 05 Nov 2017, 18:32

Re: Problème en algèbre linéaire

par LB2 » 16 Déc 2018, 16:49

Bonjour,

a) contraposée
b) reviens à la définition d'une famille libre

2)
a) b) clair en revenant à la définition
c) au choix, tu peux montrer séparément 1<=>3 et 2<=>3, ou utiliser théorème du rang pour 1 <=> 2

3.
a. clair en revenant à la définition
b. Connaitre la formule (AB)ij=somme(AikBkj)
c) Utiliser b

Cordialement

 

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