Problème algèbre linéaire

par **benekire2** » 22 Jan 2011, 12:25

Bonjour,

En faisant un exo , j'ai planté sur ces questions :

Soit E un ev de dimension n , u,vL(E) qui commutent avec v nilpotent.

Montrer que :

- u+v est inversible ssi u l'est.
- det(u+v)=det(u)
- det(XId-(u+v))=det(XId-v)

Et une autre question :

E un C ev de dimension finie , aL(E) soit

défini par

Montrer que

est nilpotent si et seulement si il existe k scalaire et un endomorphisme nilpotent n tel que a=kId+n

J'ai pas d'idées pour le moment,

Merci de votre aide !

par **Doraki** » 22 Jan 2011, 12:37

pour le début on peut écrire explicitement l'inverse de (u+v) en fonction de v et de l'inverse de u.

par **benekire2** » 23 Jan 2011, 11:18

Salut !

Désolé de ma réponse tardive , donc j'arrive pas a écrire cet inverse en fonction de l'inverse de u et de v ...

d'autant que pour la suite je vois pas non plus . Désolé ,

par **Nightmare** » 23 Jan 2011, 15:24

Salut,

on peut écrire un truc du style

par **Doraki** » 23 Jan 2011, 15:43

Si t'as pas d'idée tu prends un cas simple comme par exemple
U =
u 0 0 0
0 u 0 0
0 0 u 0
0 0 0 u

et V =
0 v 0 0
0 0 v 0
0 0 0 v
0 0 0 0,

(avec u scalaire non nul et v un scalaire quelconque)
Si tu calcules l'inverse de (U+V), tu pourras quasiment lire la formule sur le résultat.
Après, t'as plus qu'à vérifier que la formule elle-même est correcte (ce sera pas dur).

par **benekire2** » 24 Jan 2011, 20:01

Bof , le pire c'est que même avec ton exemple je vois rien, et j'arrive même pas a exprimer l'inverse de U+V en fonction de V et U^-1 sur ton exemple. En fait j'obtient que l'inverse est U^-1 -V/u²+vV/u^3-X

avec X la matrice nulle sauf dans la case 1,4 où il y a -v^3/u^4...

Sinon, pour l'assertion 2 elle découle de la 3 , mais pas de nouvelles idées non plus pour la 3ème assertion ...

par **Doraki** » 24 Jan 2011, 20:57

vV/u^3 ça me semble très douteux.

t'as regardé à quoi ressemblent V² et V^3 ?

par **benekire2** » 24 Jan 2011, 21:16

Doraki a écrit:vV/u^3 ça me semble très douteux.

t'as regardé à quoi ressemblent V² et V^3 ?

oui c'est plutôt ... vV²/u^3 , on trouve que V^3=0 et V² est la matrice nulle sauf en (1,3) et (2,4) où elle vaut v.

par **Doraki** » 24 Jan 2011, 21:45

T'as pas les bons coeffs dans V², et je suis à peu près sur que V^3 ça fait pas 0.

par **benekire2** » 24 Jan 2011, 21:59

Doraki a écrit:T'as pas les bons coeffs dans V², et je suis à peu près sur que V^3 ça fait pas 0.

Oui en fait j'ai merder le calcul de V^3 !! Je refais ça tout de suite !!

par **benekire2** » 24 Jan 2011, 22:06

Bon ce coup ci j'ai vérifié les calculs , j'ai

par **Doraki** » 24 Jan 2011, 22:27

v*V et v²*V², c'est pire que tout.

par **benekire2** » 24 Jan 2011, 22:42

Doraki a écrit:v*V et v²*V², c'est pire que tout.

Merde merde et merde :mur: :mur: pour calculer les puissances de V j'ai pris la matrice avec des 1 au lieu des v.... donc n-ième tentative :

par **Doraki** » 24 Jan 2011, 22:54

t'as plus qu'à comparer "multiplier par U^-1" et "multiplier par u^-1" et conjecturer la formule générale.

par **benekire2** » 24 Jan 2011, 23:11

Doraki a écrit:t'as plus qu'à comparer "multiplier par U^-1" et "multiplier par u^-1" et conjecturer la formule générale.

Ok c'est bon, je tient le morceau , on remplace les u par des U et c'est tout bon.

Donc pour en venir à l'assertion 3 sur le polynôme caractéristique , comment ferais tu pour montrer qu'ils sont égaux ?

par **Doraki** » 24 Jan 2011, 23:41

Pour la question 3, j'utilise la question 2, pourquoi ?

par **benekire2** » 25 Jan 2011, 08:14

Non je dit que la 2 est immédiate après la 3...
Mais si tu utilise la 2 comment fais tu pour la 2?

merci!

par **Doraki** » 25 Jan 2011, 10:17

Bah j'utilise la 1, et la question 1.5 qui est la même que la 2 mais avec u = I

par **benekire2** » 25 Jan 2011, 11:34

D'accord... Mais meme avec tout ca je vois mal l egalité des polynômes caractéristique. Sérieusement j'ai du mal :cry: a

par **Doraki** » 25 Jan 2011, 11:41

t'es sur que c'est pas, det(XId-(u+v))=det(XId-u), plutôt ?

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