Probas et médiane de variables à densité

[SylviaM]

Bonjour à toutes et tous,

Je vous envoie un message car j'ai des difficultés à faire cet exercice, voici l'énoncé:

1. Pour i ∈ ⟦ 1;13 ⟧ on définit X_i ↪ U_[0,1] toutes indépendantes. On définit ensuite M=médiane de l'ensemble des X_i. Et on définit pour x ∈ [0,1] fixé Z_x = le nombre de X_i ≤ x.

a) Déterminer la loi de Z_x
b) Montrer que ( M ≤ x ) = (Z_x=k)
c) Déterminer la fonction de répartition de M.
d) Montrer que M est une variable à densité sans déterminer de densité.

2) Montrer que M admet une espérance et montrer que E(M) = P(M > t) dt. (Indication : on admettra qu'on peut interchanger les deux intégrales en ajustant leurs bornes).

Mes recherches:

1)a) Z_x(Ω) = ⟦ 0;13 ⟧. Pour k ∈ Z_x(Ω), P(Z_x= k) = P( kX_i ≤ x) = P ( X_i ≤ ) = (fonction de répartition loi uniforme sur [0,1])

b)

c) P(M ≤ x) = P( (Z_x = k) = P(Z_x= k) (σ-additivité, car on a des événements 2 à 2 incompatibles.) d'où P(M ≤ x) = = x .

d) Je peux montrer que cette fonction de répartition est C^0 sur R, et C^1 sur R sauf en un nombre fini de points.

4)a) E(M) = x dx = x dx

Voilà, pourriez-vous m'indiquer si ce que j'ai trouvé est juste ou non, et me donner une piste de réflexion pour la b) où je bloque complètement.

Merci d'avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,

... P(Z_x= k) = P( kX_i ≤ x) = ...

Donc si je comprend bien, selon toi, quand on a 13 réels entre 0 et 1, dire qu'il y en a 5 (=k) qui sont ≤ 0.7 (=x), c'est la même chose que de dire que 5 fois le 11em nombre c'est ≤ 0.7 (en considérant que le non explicité de ta formule est égal à 11) .
Je me permet de douter de la validité de ce résultat . . .

Sinon, pour ne pas faire que me foutre de ta gueule, je peut t'aiguiller : si on prend par exemple k=5 et x=0.2, sur les 13 réels, quel est la proba que le 1er, le 3em, le 7em, le 8em et le 11em soient ≤ 0.2 et que les 13-5=8 autres soient >0.2 ?

[SylviaM]

(5 parmi 13) / 13 ? Donc P(Z_x=k) = (k parmi 13) / 13 ?

[Ben314]

C'est "un peu moins n'importe quoi" (faut bien être sympa...), mais c'est toujours pas ça...

Le "k parmi 13", c'est pas con vu que dire que Z_x = k, ça signifie que k des 13 sont ≤ x et les 13-k autres sont >x.
Et comme les différents cas de figures (selon lesquels c'est qui sont ≤ x) sont évidement disjoints, il suffit de faire la somme des probas. Et comme les probas sont toutes les même (vu que les lois sont les mêmes), la "somme", ben c'est une somme de nombres tous égaux, c'est à dire... un produit.
Par contre, la division par 13, j'aimerais bien que tu m'explique d'où tu la sort (perso, je ne vois qu'une hypothèse : ça sort... d'un objet qu'on pose usuellement sur sa tête pour se protéger du soleil et/ou pour faire joli...)
Ensuite, une fois qu'on a choisi quels sont les k qu'on veut être ≤ x (et les autres >x), tu trouve pas ça un tout petit peu logique que la proba d'un tel événement, ça dépende de x ? Par exemple, quand k=13, tu as pas l'impression que la proba. qu'il soient tout ≤ 0.1 n'est pas vraiment la même que la proba qu'ils soient tous ≤ 0.9 ?