Probas & fractions continues

[joce]

Hello,

J'ai un exercice de proba (niveau L3) qui commence comme suit :

"La théorie des fractions continues nous dit que pour tout , il existe des entiers et avec tels que ".

Quel sens donner à cette phrase, en prenant en compte le lien avec les fractions continues ; j'ai une vague idée de ce que c'est mais je me demande si cette expression n'a pas un sens précis (l'idée que la suite q tende vers l'infini) dans ce contexte.

Merci d'avance !

(si c'est nécessaire je peux vous fournir la suite de l'exercice pour vous éclairer mais j'aimerais réfléchir seul autant que possible pour la suite )

[GaBuZoMeu]

Coquille dans le texte, ou erreur de transcription. C'est de qu'il s'agit.
Ça ne présente bien sûr d'intérêt que pour les irrationnels. Ça dit que le développement en fractions continues fournit de très bonnes approximations rationnelles.

[joce]

Merci de ta réponse. C'était bien une erreur de transcription (corrigée dans le post initial).
Alors ça j'avais à peu près compris qu'en gros on pouvait trouver une bonne approximation de notre omega avec une fraction p/q mais dans ce cas que sont pn et qn et surtout que signifie qn "tend vers +inf" ? Qu'on peut trouver qn aussi grand qu'on veut et ça fonctionnera toujours avec un certain pn ?

[GaBuZoMeu]

Sais-tu ce qu'est le développement en fraction continue ? Tu peux voir la page wikipedia. Les fractions sont les réduites de ce développement.

[joce]

Voici la suite de l'exercice :



Cela laisse entendre que si on ne prend pas en considération "qn tend vers +inf", il suffit de prendre, pn=1 et qn=2 et on a pour epsilon tout petit un intervalle non réduit à un points d'omega qui fonctionnent, et donc un évènement de probabilité vraiment pas nulle... D'où mon envie de comprendre ce qui se cache derrière qn tend vers l'infini...

[joce]

Bon ben je vais creuser du côté des fractions continues alors, merci.

[GaBuZoMeu]

Le préambule sur les fractions continues n'a pas de rapport avec la résolution de l'exercice. C'est juste pour mettre en valeur le résultat obtenu.
Remarque que approche à moins de tous les réels de . Ce n'est pas très intéressant. C'est intéressant d'avoir des approximations qui soient de plus en plus précises.
Remarque aussi que pour tout entier , on peut trivialement approcher n'importe quel irrationnel par une fraction de dénominateur à moins de près. Ce qui est intéressant c'est d'approcher de plus en plus près par des fractions , forcément avec dénominateur tendant vers l'infini, de façon que l'erreur soit inférieure à . Le but de l'exercice est de montrer que, sauf pour un ensemble d'irrationnels de mesure nulle, on ne peut pas le faire avec un exposant plus grand que 2.

[joce]

Merci pour ta réponse.

C'est bien ce que j'avais compris intuitivement dans le sens où on peut approximer très correctement un nombre par un rationnel, et j'ai bien saisi l'objectif de l'exercice ( càd qu'on peut avoir une erreur d'exposant 2 mais pas davantage), mais simplement je ne comprends toujours pas l'écriture : "il existe qn qui tend vers +inf"... Faut-il le comprendre comme "il existe qn aussi grand qu'on le veut" ? D'autre part quand on écrit notre inégalité, elle doit être vraie à n'importe quel rang (y compris quand n très grand et donc quand q devient très grand) ?

Enfin, plus trivialement, je comprends dans ce que tu me dis que l'exercice est à résoudre avec uniquement des outils de probas (Borel-Cantelli peut-être). Est-ce bien ce que tu entendais par "Le préambule sur les fractions continues n'a pas de rapport avec la résolution de l'exercice" ?

Merci pour ton aide précieuse.

[GaBuZoMeu]

L'énoncé est un peu olé-ole. Il faut comprendre "il existe une suite d'entiers tendant vers l'infini telle que pour tout il existe un entier vérifiant ".

Je confirme que l'histoire des fractions continues n'a qu'un intérêt culturel pour l'exercice et n'intervient absolument pas pour sa résolution. Tu es sur une bonne piste avec Borel-Cantelli.

[joce]

Merci beaucoup pour cette aide précieuse ! Je reviendrai peu-être vers toi si je m'en sors pas mais ça devrait le faire

Bonne journée.