Probas conditionnelles

[elleana]

Bonjour,

J'ai un exercice ou je bloque pas mal! Une aide serait la bienvenue...

Soit une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On effectue des tirages successifs dans cette urne selon le schéma suivant : à chaque fois qu'une boule est prise, on retire de l'urne toutes les boules supérieures ou égale au numéro de la boule tirée puis tirage suivant.
X le num de la boule prise au premier tirage et Tn le nombre de tirages nécessaires pour vider l'urne à n boules.
1. Déterminer les lois de T1, T2, T3. (J'ai trouvé P(t1)=1, P(t2=k)=1/2 et P(t3=k)=1/3

2.Déterminer la loi conditionnelle de Tn sachant [X=i]: on utilisera un Tk avec k bien choisi (donc j'ai pris k=i-1) En déduire l'espérance conditionnelle de Tn sachant [X=i] (réponse avec espérance non conditionnelle (là je n'arrive pas la loi ni l'espérance!)

3 On pose un= E(Tn) pour tout n positif. Exprimer un en fonction de u1,..., un-1
4.En déduire l'expression de un en fonction de un-1 puis l'expression explicite de un comme une somme.

Merci d'avance pour votre aide!

[Albizzia]

Je ne sais pas si j'arrive trop tard, mais voici le début de ton exercice, selon moi:


1) S'il y a une boule: on vide forcément l'urne en 1 tirage.
Donc, P(T1 = k) = 1 si k=1
= 0 sinon.

S'il y a deux boules:
Soit on tire la boule n°1 en premier, auquel cas: 1 tirage.
Soit on tire la boule n°2 en premier, auquel cas: 2 tirage.
Donc, P(T2 = k) = 1/2 si k=1, ou k=2
= 0 sinon.

S'il y a trois boules:
Soit on tire la boule n°1 en premier, auquel cas: 1 tirage.
Soit on tire la boule n°2 en premier, auquel cas: 2 tirages.
Soit on tire la boule n°3 en premier, auquel cas: 2 possibilités.
- On tire la boule n°1 en deuxième ==> 2 tirages.
- On tire la boule n°2 en deuxième ==> 3 tirage.
On a donc: P(T3=k) = 1/4 si k=1.
= 1/2 si k=2.
= 1/4 si k=3.
=0 sinon.

On peux remarquer que si on tire la boule n°3 en premier, on se retrouve dans la situation avec 2 boules.

2) On a donc remarqué que P((Tn=k)|(X=i)) = P(Ti-1=k-1)
C'est à dire: si on tire la boule n°i en premier, il reste les (i-1) premières boules, et on a déjà effectué un tirage.

J'espère que ça t'aide pour la suite!
Bon courage^^