Probas conditionnelles Poisson

[smad]

Merci de m'accueillir sur votre communauté, je souhaiterais obtenir votre raisonnement sur un problème basique :

- Une société de crédit gère chaque jour et, indépendamment les uns des autres, un nombre Z de dossiers.
- On suppose que Z suit une loi de Poisson de paramètre 10 et que la probabilité qu’un dossier soit l’objet d’un contentieux est égale à 0,1.
- On note X la variable aléatoire égale, un jour donné, au nombre de dossiers soumis au contentieux, et Y celle qui représente le nombre de dossiers qui ne présentent aucun problème.
- On peut donc écrire : X + Y = Z.

1. Si n appartient à N, calculer, pour k appartenant à N, P(X = k/ZE = n), la probabilité conditionnelle de X = k sachant Z = n.
2. Exprimer P(X = k, Z = N), la loi du couple (X,Z), et en déduire que X suit une loi de Poisson de paramètre 1.
3. Par un raisonnement identique, démontrer que Y suit une loi de Poisson de paramètre 9.
4. Calculer la probabilité P(( X = k) I (Y = j)) , lorsque k et j sont des entiers naturels.
Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

[fahr451]

bonsoir

basique non , classique oui

que sais tu faire?

[BQss]

bonsoir

basique non , classique oui

que sais tu faire?

j'avais tapé des infos et ma connec a sauté, je relance et je vois que le maitre du fort a pris les choses en main, lol.

[BQss]

Le 4 est un tout petit peu plus difficile, mais une fois qu'on a trouvé l'idée c'est fait.

[fahr451]

pour le 4 passer par l intersection et par la loi du couple (X,Z)

[Joker62]

Ben apparemment il aura démontrer que Y ~ P(9) donc bon, il peut s'en servir directement avec la définition des probabilités conditionnelles.

[fahr451]

pour le 4 joker ?

revenir à Z c'est plus clair mais bien sûr utiliser la loi de Y

P(X=k l Y= l) = P(X=k , Z=k+l) : P( Y= l) et tout est connu

[BQss]

pour le 4 passer par l intersection et par la loi du couple (X,Z)

je suppose que tu proposes ca qui est le plus court:
P(( X = k) I (Y = j)) = P(X=k,Z-X=j)=P(X=k,Z=j+k)

*edit désolé fahr j'avais pas vu j'ai des problemes de connec.

Je precise tant qu'a faire que pour le 1) c'est une loi binomiale (p,n) avec p=0,1 et pour le deux je te laisse chercher, fahr ayant choisi de te laisser un peu chercher.

[BQss]

PS fahr je crois que le I c'est pout inter et pas pour sachant, je crois qu'il voulait dire ca... Vu que la question suivante c'est sur l'independance ca me parait logique a priori.

[fahr451]

moi je pense que " l " signifie sachant mais tout est bon dans le cochon du moment qu'on sait de quoi on parle ; inter ou sachant donnent l'indépendance ; inter est sans conteste plus rapide

[smad]

Merci fahr, bqss, joker.
(à noter que pour le 4), il s'agit bien d'une intersection)

Pour te répondre fahr:

1) P(X=k/Z=n)=Cn,k . (1/10)^k . (9/10)^n-k

2) P(X=k,Z=n)=P(X=k inter Z=n)=P(X=k/Z=n).P(Z=n)
P(X=k,Z=n)=Cn,k . (1/10)^k . (9/10)^n-k . 10^n . e^-10 / n!

n! . 9^n-k . e^-10 . 10^n
P(X=k,Z=n)= ____________________
k! . (n-k)! . 10^k . 10 n-k . n!

9^n-k . e^-10
P(X=k,Z=n)= _____________
k! . (n-k) !

9^n-k . e^-9 . e^-1
P(X=k,Z=n)= _____________
k! . (n-k) !

e^-1 . 9^n-k . e^-9
P(X=k,Z=n)= ______ ______________
k! (n-k) !

Or P(X=k,Z=n) = P(X=k,Y=n-k)

e^-1 . 9^n-k . e^-9
P(X=k,Y=n-k))= ______ ______________ (*)
k! (n-k) !

X et Y étant indépendantes, (*) => X~P(1) et Y~P(9)
Or on ne sait pas si X et Y sont indep ..

Comment faire ??

[fahr451]

entendu intersection

tu as donc montré que X sachant Z=n est une var binomiale B(n,1/10)

tu as ensuite écrit la loi du couple (X,Z)

pour avoir la loi marginale de X il te suffit de sommer la loi du couple par rapport à n

P(X= k) = sigma sur n >= k des P(X=k,Z=n)

écris les coeffs binômiaux les factoriels se simplifient et reconnais une série exponentielle

certains messages m'incitent à me mettre à latex