Probabilités (vecteurs aléatoires)

[Shaddan]

Bonjour,
Je suis actuellement en train d'essayer de résoudre un exercice sur les vecteurs aléatoires que j'ai eu en cours, mais j'ai beaucoup de mal à cerner la chose, donc si quelqu'un pouvait m'éclairer un peu ça m'aiderait beaucoup.
J'ai un vecteur aléatoire continue de deux variables et ayant pour fonction de densité conjointe

A partir de ça, je dois tout d'abord trouver la probabilité , mais j'ai énormément de mal à trouver les bornes des deux intégrales.
Ce qui m'est venu à l'esprit est

mais je pense qu'avec ça la condition n'est pas respectée, et après avoir tester quelques autres solutions, je me suis à chaque fois retrouvé bloqué, donc j'apprécierais énormément que quelqu'un me guide un peu pour les bornes des intégrales.

J'ai ensuite une autre question, que je pense avoir réussi à faire mais ayant de gros doutes sur le résultat, si quelqu'un pouvait me dire ce qu'il en est je lui en serais très reconnaissant.
Il s'agit de trouver la fonction de densité marginale de , chose pour laquelle j'ai effectué les calculs suivants :


Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[Sa Majesté]

Salut

Tu peux faire un dessin avec x1 en abscisse et x2 en ordonnée
x2 varie clairement entre 0 et 1
Lorsque x2 vaut 0, x1 vaut 0
Lorsque x2 vaut 1, x1 varie entre -1 et 1
Pour un x1 quelconque entre -1 et 1, x2 varie entre x1² et 1

Tu peux vérifier en calculant

[Shaddan]

Merci beaucoup pour la rapidité et la concision de la réponse. Je comprends beaucoup mieux. Je vais essayer de recalculer avec ça !

Si je pouvais aussi juste savoir pour la fonction de densité marginale de , si ce que j'ai fait est correct, ça m'aiderait beaucoup.

Encore merci.

[Ben314]

Salut,
Pour ta densité marginale, c'est effectivement , mais ce n'est pas égal à du fait que, quand tu écrit ça, ben tu ne tient pas compte de la condition .
En particulier, tu peut vérifier que, si tu intègre sur R ce que tu as trouvé comme densité marginale, ben tu ne trouve pas 1 !!!

Pour tes deux question, il serait trés utile, comme le dit Sa Majesté, de faire un dessin du domaine du plan correspondant à puis, pour ta première question, regarder à quoi corresond l'intersection de ce domaine avec celui correspondant à , et, pour ta deuxième question, à quoi correspond l'intersection de ce domaine avec une droite d'équation .
Ensuite, tu essaye de comprendre comment on pouvait trouver ces domaines sans faire de dessin (c'est utile car, si par exemple il y avait 4 variables, ben le "dessin", ça serait pas facile à faire...)

[Shaddan]

Merci pour la réponse et pour les conseils.

Je vois, donc en fait ça donnerait :

si j'ai bien compris, ou bien est-ce que je me trompe encore ?
J'avoue que même avec un dessin je me perds encore un peu, donc sans c'est complètement la catastrophe... Il va falloir que je m'habitue un peu.
En tout cas un grand merci pour l'aide.

Edit : après vérification je pense que je me suis encore trompé, donc je vais essayer de chercher encore un peu par moi-même.

[Sa Majesté]

Je vois, donc en fait ça donnerait :

si j'ai bien compris, ou bien est-ce que je me trompe encore ?

Non ce n'est pas bon
Pour un x1 donné, la densité n'est pas égale à 21x1²x2/4 sur tout l'intervalle [-1,1] pour x2

[Sa Majesté]

Voici le dessin (x1 en abscisse, x2 en ordonnée)
La densité est égale à 21x1²x2/4 là où j'ai mis de la bombe bleue
Elle est nulle en dehors

[Shaddan]

Après avoir fais un petit dessin et vérifier un peu plus, j'en suis arrivé à
qui au vu du résultat trouvé me parait plus vraisemblable, mais est-ce que je suis enfin sur la bonne voie ou est-ce que je m'égare encore.
Merci pour votre aide et votre patience.

[Ben314]

BINGO, modulo que la "vraie véritée" serait plutôt :

[Finrod]

Pour , la condition sur s'obtient assez directement lorsque tu fais un mix des deux :

et

Le dessin peut aider, comme l'a dit Ben (c'est même recommandé) mais ça ne veut pas dire qu'il faut aller chercher bien loin.

[Shaddan]

Merci beaucoup pour votre aide, je me sens déjà un peu moins perdu, bien que j'ai encore vraiment du mal. Mais je commence à comprendre un peu mieux !
Je vais me mettre à l'attelage pour les questions qu'il me reste.