Probabilités

[nythostyle]

Bonjour, j'aimerais poser une question à l'un d'entre vous sur un problème qui m'a semblé être sans difficulté pour moi au début mais j'ai un peu galérer en y réflechissant, n'ayant pas la réponse je ne me suis pas lancé au hasard.

"Dans un bol, il y'a 6 boules blanches et 4 noires on les tire au hasard jusqu'à ce qu'il n'y en ai plus. Calculez l'espérance et la variance du nombre de boule tirée jusqu'à ce qu'on tire la 3 ème boule blanche"

ça sera surement d'une simplicité enfantine pour l'un de vous mais je cale sur le "jusqu'au tirage de la 3 ème boule blanche" le tirage étant sans remise je ne peux pas utiliser la binomiale (à priori?)

[LB2]

Bonjour nythostyle,

effectivement ce n'est pas une binomiale, un tirage sans remise obéit à une loi hypergéométrique en général. En pratique si le taux de prélèvement est faible, on peut l'approximer par une loi binomiale, mais ce n'est pas le cas ici. Un calcul avec un arbre de probabilités me semble donc approprié, posant X = nombre de boule tirées jusqu'à ce qu'on tire la 3ème boule blanche.

Il faudra distinguer plusieurs cas, suivant la séquence obtenue.

Cordialement

[Ben314]

Salut,
On peut éventuellement faire un arbre, surtout que c'est on ne peut plus à la mode ces dernier temps dans l'éducation nationale, mais on peut aussi faire tout bêtement du dénombrement :
- Le nombre de tirage possible de Noires+Blanches boules, c'est (équiprobables).
- Parmi ces tirage, le nombre de ceux où la K-ième boule blanche apparaît en P-ième position (avec ) c'est vu qu'il faut choisir la position des K-1 boules blanches parmi les P-1 première, puis la P-ième est forcément blanche et qu'il faut ensuite choisir la position des B-K blanches restantes parmi les N+B-P dernières.
L'espérance cherchée, c'est donc .

En rouge : Erreur signalée çi dessous

J'ai pas cherché à regarder si ça se simplifie vu que de toute façon, avec B=6 ; N=4 et K=3, ça se somme à la main sans problème.

[beagle]

"On peut éventuellement faire un arbre, surtout que c'est on ne peut plus à la mode ces dernier temps dans l'éducation nationale"

tu trouves qu'il ya trop d'arbres?
Et si on fait des correspondances arbre -dénombrement c'est enrichissant, non?
Les équivalences one shoot et séquentiel c'est bien à faire comprendre, non?

[LB2]

Pour compléter le propos de Ben314,

en appelant la variable aléatoire égale au nombre de boules tirées avant de tirer la 3è boule blanche, on voit que

Pour calculer la loi de X,

Le nombre de cas possibles étant
le nombre de cas favorables étant

Pour dénombrer l'ensemble des cas favorables, on remarque que quand , la troisième boule blanche est tirée en position . Le "mot" constitué est alors de la forme


ce qui conduit aux formules énoncées par Ben.

En effectuant le calcul, on obtient


Pour calculer l'espérance et la variance de , je te laisse faire maintenant qu'on dispose de sa loi.

[Ben314]

tu trouves qu'il ya trop d'arbres?
Et si on fait des correspondances arbre -dénombrement c'est enrichissant, non ?

Je sais pas si c'est qu'il y en a trop ou si c'est que les élèves ne retiennent QUE ça du Lycée, mais la constatation, c'est effectivement que beaucoup d'étudiants que j'ai vu passer en proba. faisaient quasi systématiquement des arbres quelque soit le cas de figure alors qu'à mon sens, c'est une visualisation parmi d'autre des probas.

Par exemple, dans un cas comme ici, si tu fait un arbre, les probas seront à calculer sur chaque branches : au départ tu as à 6 chance sur 10 de tirer une blanche, mais dés le deuxième coup, ça va dépendre de la "branche" où tu est vu que ça dépend du nombre de noire/blanches qu'il reste donc tu as un arbre "tout pourri" dificile à "théoriser" et, même avec des valeurs "petites" comme ici, ça te fait déjà un sacré arbre à tracer (essaye de le faire si tu n'est pas convaincu).
Donc à mon sens, il est bien plus simple (et plus naturel à mon avis) de raisonner de façon "globale" sur les tirages en les regardant dans leur ensemble (i.e. comme un "mot" de 10 lettres avec 6xB et 4xN) et en les regardant comme un bête "patatoïde"contenant toutes les issues possibles.

Bref, de façon générale, je dirais pas que c'est "complètement con" de faire des arbres quand on fait des probas., mais à mon sens, ce n'est un truc que très moyennement utile, en particulier par rapport à une bonne maîtrise des différentes technique et outils de dénombrement (combinaisons, arrangements, etc...)

P.S. Et concernant les "correspondances arbre-dénombrement", il y a quand même un paquet de cas (pour ne pas dire la grande majorité) où sur l'arbre, on "voit" pas grand chose. Par exemple sur une bête binomiale où on fait 5 tirages successifs de Pile ou Face, tu fait comment sur l'arbre pour "voir" les cas de figure où tu as tiré 2 fois face et 3 fois piles ?

[beagle]

Salut Ben314, j'imaginais bien que c'est l'arbre "recette" qui ne te plaisait pas trop.
Je crois que c'est malheureusement comme beaucoup de profs lycée se sont plaints sur maths forum, les élèves veulent de la formule, et bing j'applique,
là où vous préfereriez du raisonnement.
Cela se comprend.

Sur les correspondances évoquées, ben souvent quand même dans je tire 3 boules d'un coup, on peut faire les trois boules en une fois, et on peut souvent bien s'en tirer en disant que les boules étant un peu grosses on les a finalement prises une par une. Il ya des pièges des difficultés, mais souvent les deux sont faisables.

Pour l'arbre, bien sur il ne dénombre pas mais en binomial justement tu te fiches de l'ordre des branches, c'est le nombre de celles qui montent et de celles qui descendent qui comptent.
Et dans notre cas présent, une branche par exemple qui serait:
3 blanches deux noires:
4/10 x 6/9 x 5/8 x 3/7 x 4 /6
ben toutes les branches de ce type ont au dénominateur : 10x9x8x7x6
et au numérateur (6x5x4) x(4x3)
C'est tout de même un peu jouer à [A(6,3) xA(4,2) ] / A(10,5)
alors ok il faudra pour calculer le nombre de telles branches repasser par le C

Bon, je trouve pas mal de mettre en relation les branches et les positions dans (…,..,...,...,...,....) enfin ce genre de correspondance. Je sais pas.

[CAMI]

Le plus simple :
tirer la 3ème boule blanche au 3ème tirage, probabilité 6*5*4/10*9*8 = 1/6
tirer la 3ème boule au 4ème tirage (si elle n'a pas été tirée au 3ème) probabilité = 4/7
tirer la 3ème boule au 5ème tirage ( pas tirée avant le 5ème) probabilité = 4/6
tirer la 3ème boule au 6ème tirage ( pas tirée avant le 6ème) probabilité = 4/5
tirer la 3ème boule au 7ème tirage ( pas tirée avant le 6ème) probabilité = 1/1
Pourquoi compliquer les choses simples?

[aviateur]

Le plus simple :
tirer la 3ème boule blanche au 3ème tirage, probabilité 6*5*4/10*9*8 = 1/6
tirer la 3ème boule au 4ème tirage (si elle n'a pas été tirée au 3ème) probabilité = 4/7
tirer la 3ème boule au 5ème tirage ( pas tirée avant le 5ème) probabilité = 4/6
tirer la 3ème boule au 6ème tirage ( pas tirée avant le 6ème) probabilité = 4/5
tirer la 3ème boule au 7ème tirage ( pas tirée avant le 6ème) probabilité = 1/1
Pourquoi compliquer les choses simples?

C'est quoi cette réponse?!!!
Avec toi au 7ème tirage on est sûr de tirer une blanche?

[Ben314]

Le plus simple :
tirer la 3ème boule blanche au 3ème tirage, probabilité 6*5*4/10*9*8 = 1/6
tirer la 3ème boule au 4ème tirage (si elle n'a pas été tirée au 3ème) probabilité = 4/7
tirer la 3ème boule au 5ème tirage ( pas tirée avant le 5ème) probabilité = 4/6
tirer la 3ème boule au 6ème tirage ( pas tirée avant le 6ème) probabilité = 4/5
tirer la 3ème boule au 7ème tirage ( pas tirée avant le 6ème) probabilité = 1/1
Pourquoi compliquer les choses simples ? <= éventuellement pour éviter d'écrire des c...., non ?

Si j'ai bien compris, c'est sensé être des proba conditionnelles donc le 1 final est trivialement correct (et le 1/6 de début aussi).
Par contre, le 4/7 est complètement faux vu qu'en partant des valeurs (justes) de LB2, on obtient que la proba de tirer la 3em blanche au 4em coup sachant qu'on ne l'avait pas tirée au 3em, c'est

[CAMI]

ben oui si elle a pas été tirée avant on a déjà tirer les 4 boules noires ! elles restent 4 pauvres boules blanches sans aucune noire dans le bol!
L'aviateur vient de s'écraser.

[Ben314]

L'aviateur vient de s'écraser.

Ben... non....
Par contre, toi... tu t'enfonce....

[CAMI]

6 boules blanches 4 noires dans le bol au départ
Pour avoir la 3ème boule tirée au 3ème tirage probabilité = 6*5*4/10*9*8 = 1/6
Pour tirer la troisième boule blanche au 4ème tirage il faut avoir déjà tirer 2 boules blanches et une noire , reste dans le bol 4 boules blanches et 3 boules noires, la probabilité de tirer une boule blanche est donc bien de 4/7 au 4ème, 4/6 au 5ème, 4/5 au 6ème et 1 au 7ème.

[Ben314]

Pour tirer la troisième boule blanche au 4ème tirage il faut avoir déjà tirer 2 boules blanches et une noire , reste dans le bol 4 boules blanches et 3 boules noires, la probabilité de tirer une boule blanche est donc bien de 4/7 au 4ème

Ben non, pas du tout : ce 4/7 c'est la proba (conditionnelle) de tirer une blanche au 4em coup sachant qu'on a tiré 2 blanche et une noire avant ce qui est bien évidement différent du "si elle n'a pas été tirée au 3ème" que tu as écrit dans ton post (si on a pas tiré la blanche avant, ça peut parfaitement provenir du fait qu'on a tiré 3 noires ou bien 2 noires et une blanche).

[aviateur]

Rebonjour
Une petite remarque sur la réponse de @ben (lapsus). Dans l'expression de l'espérance tu as oublié de diviser par binomial(b+n,b).
sinon pour aider le poster j'ai fait le calcul de E(X) et on trouve
et le calcul de

[Ben314]

Rebonjour
Une petite remarque sur la réponse de @ben (lapsus). Dans l'expression de l'espérance tu as oublié de diviser par binomial(b+n,b).

C'est pas faux : je le rajoute au cas où certains ne lisent pas jusqu'ici.

[aviateur]

rebonjour @Cami
Non je ne m'enfonce pas. Je vais t'expliquer un peu comment je fonctionne.
Avec les maths je commence toujours par de la lecture rapide. Pour aller ensuite voir les détails si ça vaut le coup.
Ici après un premier coup d'oeil, je vois que ça ne va pas ce que tu as écrit et cela ne vaut pas le coup d'aller voir plus loin.
Surtout que la question c'est de calculer l'espérance.
Donc une analyse de texte un peu défaillante sur un texte louche c'est pas grave à mon avis. N'es tu pas d'accord avec moi?
Maintenant c'est normal pour le poster de la question qu'on intervienne pour lui signifier où est la bonne réponse.
J'imagine que pour lui ce n'est pas un exercice facile donc c'est inutile de venir lui troubler l'esprit.

[aviateur]

Oui ok il faut corriger au départ.