Bonsoir,
Je bloque sur cet exercice (au risque de faire des erreurs de traduction, vu que c'est déjà arrivé par le passé, je mets ci-après l'énoncé en anglais):
Proposition de traduction
Soit f la densité de probabilité d'une distribution discrète. Supposons que f(x) = 0 pour x n'appartenant pas à [0,1].
Prouvez que la variance de cette distribution est au plus égale à 1/4.
Indice : Prouvez qu'il y a une distribution s'appliquant uniquement aux deux points {0,1} telle que la variance est au moins aussi grande que f, puis prouvez que la variance de la distribution sur {0,1} est au plus 1/4.
Enoncé anglais
Let f be a p.f. for a discrete distribution. Suppose that f(x) = 0 for x [0,1].
Hint: Prove that there is a distribution supported on just the two points {0,1} that has variance at least as large as f does and then prove that the variance of a distribution supported on {0,1} is at most 1/4.
J'ai commencé par faire comme ceci:
Si on considère que deux points, on peut suggérer une loi de Bernoulli avec la proba p d'obtenir 1, et (1-p) d'obtenir 0 par exemple.
La variance serait alors égale à p(1-p). Pour p=0.5 j'ai bien une variance maximale possible égale à 1/4.
Le problème c'est qu'ici, je réponds bien à la partie " then prove that the variance of a distribution supported on {0,1} is at most 1/4." mais je ne vois pas en quoi je réponds à "Prove that there is a distribution supported on just the two points {0,1} that has variance at least as large as f does"
Et surtout comment conclure que la variance de la distribution initiale est d'au plus 1/4
Merci