Probabilités

[pluie2]

Bonjour, j'aimerais une aide dans la réalisation de cet exercice:

Soit n un entier naturel (sauf 0). On lance n fois une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est p et face est 1-p. On note X_n le nombre de fois où la pièce a changé de côté au cours de cette expérience. Pour tout i appartenant à [[1,n]], on note Pi l'événement " on obtient pile au i ième lancer" (resp face).

On suppose ici n>=3 et k appartient [[1,n-2]]. Montrer que l'on a :

P((X_n=k)etP_n)=1/2 [P((X_(n-1)=k)etP_(n-1) + P((X_(n-1)=k-1)etF_(n-1)]

Faut il utiliser la formule des probabilités totales ?

je ne vois pas comment retrouver cette expression

merci de votre aide !

[zygomatique]

salut

commence par faire un arbre ... pour voir ...

[BiancoAngelo]

Bonjour, j'aimerais une aide dans la réalisation de cet exercice:

Soit n un entier naturel (sauf 0). On lance n fois une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est p et face est 1-p. On note X_n le nombre de fois où la pièce a changé de côté au cours de cette expérience. Pour tout i appartenant à [[1,n]], on note Pi l'événement " on obtient pile au i ième lancer" (resp face).

On suppose ici n>=3 et k appartient [[1,n-2]]. Montrer que l'on a :

P((X_n=k)etP_n)=1/2 [P((X_(n-1)=k)etP_(n-1) + P((X_(n-1)=k-1)etF_(n-1)]

Faut il utiliser la formule des probabilités totales ?

je ne vois pas comment retrouver cette expression

merci de votre aide !

Salut !

Pour bien réécrire, ce que tu veux montrer est bien :


C'est étrange, car ça semble venir effectivement des probabilités totales... mais pour le 1/2 ?

Donc ce serait plutôt :



Car la probabilité d'avoir un pile à la fin avec k changements est :
-> La probabilité d'avoir un pile à l'avant-dernier avec autant de changements
+
-> La probabilité d'avoir un face à l'avant-dernier avec un changement de moins (pour avoir un pile à la fin).

(on ne peut pas avoir un changement de plus, sinon le nombre de changements devient supérieur à k, ce qui n'est pas possible).

[pluie2]

ok c'est fait j'ai représenté à chaque fois 2 branches de probas respectives p et 1-p mais je ne vois pas comment en déduire l'égalité recherchée car il y a énormément de possibilités....

[BiancoAngelo]

ok c'est fait j'ai représenté à chaque fois 2 branches de probas respectives p et 1-p mais je ne vois pas comment en déduire l'égalité recherchée car il y a énormément de possibilités....

Ce que j'ai écrit au dessus se fait bien avec un arbre où tu pars des événements P(n-1) et F(n-1) qui peuvent donner ou Pn ou Fn.

[pluie2]

bonjour BiancoAngelo
oui il y a bien 1/2 devant l'égalité proposée et donc ça semble appeler aux probas totales mais d'où vient il?

[BiancoAngelo]

Déjà autant pour moi, car il faut multiplier par la proba du dernier événement :

Car la probabilité d'avoir un pile à la fin avec k changements est :
-> La probabilité d'avoir un pile à l'avant-dernier avec autant de changements et avoir un pile au dernier (proba = p)
+
-> La probabilité d'avoir un face à l'avant-dernier avec un changement de moins et avoir un pile sur le dernier (proba = p aussi).

(on ne peut pas avoir un changement de plus, sinon le nombre de changements devient supérieur à k, ce qui n'est pas possible)



Donc ton 1/2 vient sûrement d'une pièce équilibrée...

Car en factorisant, on a le "p" devant...

[pluie2]

d'accord merci je vais essayer de refaire ça

[Cauchy2010]

Pièce équilibrée ??? Non, puisque la proba d'avoir pile = p par hypothèse et qu'on ne fait aucune hypothèse sur la valeur de p ...

Par ailleurs, on suppose que OK, mais sinon l'exo n'a aucun sens :mur:

[BiancoAngelo]

Pièce équilibrée ??? Non, puisque la prob d'avoir pile = p par hypothèse et qu'on ne fait aucune hypothèse sur la valeur de p ...

Oui oui je suis d'accord, sauf que le 1/2 sort d'où alors ?

[pluie2]

k appartientà [[1,n-2]] faute de frappe désolé...mais d'où vient le 1/2?

[Cauchy2010]

k appartientà [[1,n-2]] faute de frappe désolé...mais d'où vient le 1/2?

non, ce n'est pas possible. Par conséquence, et ça arrive souvent, je me demande si la question est correctement posée ... :triste:

[pluie2]

oui tout y est ...j'ai bien recopié pourtant

[Cauchy2010]

Salut,

une idée : pose n=3 et donc k = 1 (puisqu'on contraint k à appartenir à l'intervalle que tu indiques) et regarde ce que ça donne.

[pluie2]

on recherche alors la probabilité, pour 3 lancers, que la pièce ait changé 1 fois de côté et que pile soit obtenu au premier lancer soit :
je pose f=1-p
p*p*p+p*p*f+p*f*f+p*f*p comme proba.

[zygomatique]

on commence par pile et la pièce change une fois de face ::

elle change donc soit au deuxième lancer soit au troisième donc

ppf ou pff

epictou ....

[pluie2]

ok mais du coup comment faire pour le cas général ?

[Cauchy2010]

on recherche alors la probabilité, pour 3 lancers, que la pièce ait changé 1 fois de côté et que pile soit obtenu au TROISIEME lancer soit :
je pose f=1-p
p*p*p+p*p*f+p*f*f+p*f*p comme proba.

Ta proba est fausse car p*p*p => k=0 et p*f*p => k=2 ... Or on impose k=1.
Comprends-tu bien tout ce que tu lis et fais ?!? :hum:
Si on commence par pile, on a comme indique zigomatique, mais on peut aussi commencer par face.
Donc ...

[pluie2]

j'ai écrit et réfléchis trop vite mais j'ai bien compris pour l'exemple oui
donc il faut ajouter ce qui commence par face de façon à toujours avoir pile au troisième lancer OK

[Cauchy2010]

j'ai écrit et réfléchis trop vite mais j'ai bien compris pour l'exemple oui
donc il faut ajouter ce qui commence par face de façon à toujours avoir pile au troisième lancer OK

et donc tu observeras que seules les séquences qui commencent par face conviennent, puisque la contrainte est k=1. Confronte tes résultats à la formule générale.
Ensuite, si tu peux, tu regardes n=4 et k=1 puis 2 et tu essaies de voir si ça colle avec la formule générale. Tu devrais alors pouvoir conclure.
Bon courage et réfléchis bien avant :lol3: