Probabilités.

[Deluxor]

Bonsoir tout le monde!

Je suis sur un exercice qui me pose problème. Pouvez-vous me donner des indications?


Une pièce est jetée de façon indépendante une infinité de fois. A chaque fois, la probabilité d'obtenir un Face est égale à . On note la probabilité d'obtenir un nombre pair de Face après n lancers. On considère que 0 est un nombre pair.

1) Montrer que et établir une relation de récurrence entre et .

2) En déduire la valeur de pour tout , puis celle de .

3) Discuter l'existence de la limite et la calculer lorsqu'elle existe. On distinguera trois cas suivant les valeurs de .


Merci d'avance!

Bonne soirée,

Deluxor.

[DamX]

Pour trouver la relation de récurrence entre n et n+1, place toi au moment du lancer n+1, tu sais que tu as une probabilité Pn d' avoir un nombre pair de face, et dans ce cas quelle est la proba d'avoir encore un nombre pair de face après ce lancer ? A l'inverse tu as une proba 1-Pn d'avoir un nombre iimpair de face, et dans ce cas quelle estla proba d'en avoir un nombre pair après ce lancer ?
Ecrit cette disjonction de cas et Ca te donne la relation de récurrence que tu cherches.

[Deluxor]

Bonjour!!

J'essaie petit à petit de trouver une idée... Le plus difficile pour moi est de modéliser mathématiquement l'expérience... Pouvez-vous m'aider à formaliser l'idée? Mais d'abord, mon raisonnement est-il juste?


1) est la probabilité d'obtenir un nombre pair de Face après 0 lancer
Après 0 lancer, on obtient forcément 0 Face.
0 étant pair, .


On a une probabilité d'avoir un nombre pair de Face après lancers et d'avoir un nombre impair de Face après lancers.

Donc, après lancers, on a la probabilité d'avoir un nombre pair de Face.

[Luc]

Bonjour,

Donc, après lancers, on a la probabilité d'avoir un nombre pair de Face.

Oui, c'est juste car on n'a que deux cas possibles disjoints pour avoir un nombre pair de faces après le n+1-ième lancer : pile et un nombre de pair de faces au n-ième lancer ou face et un nombre impair de faces au n-ième lancer.

C'est une relation de récurrence arithmético-géométrique, l'introduction du point fixe 1/2 est donc naturelle pour la résoudre.

[Deluxor]

Merci à vous!

On a donc :

Soit :

C'est bien cela la relation de récurrence demandée?

N'y a-t-il pas moyen de modéliser l'expérience plus "mathématiquement"?

[Luc]

Merci à vous!

On a donc :

Soit :

C'est bien cela la relation de récurrence demandée?

Mieux vaut l'écrire sous la forme réduite

N'y a-t-il pas moyen de modéliser l'expérience plus "mathématiquement"?

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire : on s'intéresse ici à un évènement particulier, on peut calculer sa probabilité par récurrence... Je ne sais pas ce qu'on peut faire de plus. Pour ce qui est du pile ou face, il y a des tonnes d'autres questions à se poser, et l'ensemble des problèmes que l'on peut poser avec des variables de type pile ou face est à peu près la totalité de la théorie des probas... (il me semble en effet que toute variable aléatoire peut s'écrire comme somme de variables aléatoires indicatrices, avec les coefficients qu'il faut pour que la somme converge).

[Deluxor]

Mieux vaut l'écrire sous la forme réduite


Je ne vois pas trop ce que tu veux dire : on s'intéresse ici à un évènement particulier, on peut calculer sa probabilité par récurrence... Je ne sais pas ce qu'on peut faire de plus. Pour ce qui est du pile ou face, il y a des tonnes d'autres questions à se poser, et l'ensemble des problèmes que l'on peut poser avec des variables de type pile ou face est à peu près la totalité de la théorie des probas... (il me semble en effet que toute variable aléatoire peut s'écrire comme somme de variables aléatoires indicatrices, avec les coefficients qu'il faut pour que la somme converge).

Merci Luc.

En gros, ce que je veux dire c'est : comment faire pour justifier au mieux la mise en place de la relation de récurrence? Car comme je l'ai fait c'est plus de façon intuitive que formelle. Je ne sais pas si je suis clair... ^^

[Anonyme]

@Deluxor
Dessine un arbre de probabilité ( à 2 niveaux )

[Deluxor]

Merci!

Donc on a :

Pour la 2), qu'attend-on en demandant la valeur de ?




Je ne vois pas du tout le cheminement suivi...

[Luc]

Merci!

Donc on a :

Pour la 2), qu'attend-on en demandant la valeur de ?




Je ne vois pas du tout le cheminement suivi...

Comme je t'ai expliqué, la relation de récurrence des est arithmético-géométrique, et on veut se ramener à une relation de récurrence géométrique pour pouvoir la résoudre. La technique classique est de considérer et de montrer que cette suite récurrente est une suite géométrique. Pourquoi me diras-tu, et bien parce que la suite constante 1/2 est un point fixe de la relation de récurrence vérifiée par

[Deluxor]

Comme je t'ai expliqué, la relation de récurrence des est arithmético-géométrique, et on veut se ramener à une relation de récurrence géométrique pour pouvoir la résoudre. La technique classique est de considérer et de montrer que cette suite récurrente est une suite géométrique. Pourquoi me diras-tu, et bien parce que la suite constante 1/2 est un point fixe de la relation de récurrence vérifiée par

(p_n - \frac{1}{2}) \, = \, (1-2p)(p_{n-1}-\frac{1}{2})

[Deluxor]

Donc est une suite géométrique de raison et de premier terme

Donc
D'où

C'est bien cela?

[Anonyme]

@Deluxor

Bravo OUI


Je détaille le calcul pour éventuellement d'autres internautes :

Comme

on a donc donc

donc donc

Et si on pose

on constate que


et donc la suite est une suite géométrique de raison et de 1ier terme

[Deluxor]

Merci ptitnoir !

Pour le calcul de , est-ce juste ?





DONC :

[Luc]

DONC :

N'oublie pas qu'une probabilité est toujours entre 0 et 1 :we:

[Anonyme]

Peux tu vérifier tes résultats avec les explications ci dessous

comme on a

pour calculer la limite de :

il faut traiter les cas particuliers suivant :


(suite alternée qui n'a pas de limite)



sinon dans les autres cas on a :