Probabilités

[virginie66]

Bonjour

Voilà l'énoncé de l'exercice :

Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé de même loi uniforme sur ]0,1[
On définit les variables aléatoires :
X= max{U,V}
Y= min{U,V}
D = I U-V I

1.déterminer la loi de ces variables aléatoires ?
on utilise la formule P = F*Dp

2.calculer l'espérance de X et de Y puis en déduire celle de D

Je connais la formule mais j'ai du mal à démarrer
Il faut utiliser le théorème du transfert par la suite

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop les méthodes que tu suggére...
Vu que U et V suivent des loie uniformes indépendantes sur [0,1], la loie du couple (U,V) est tout bonnement la loie uniforme sur [0,1]².
Cela signifie que, si A est une partie de [0,1]², la proba que (U,V) soit dans A est la surface de A.
On peut donc tout résoudre à l'aide de simple dessins :

Pour t dans [0,1], on a :

Max(U,V)<=t ssi U<=t et V<=t : cela correspond au carré [0,t]² dont la surface est t² : P(X<=t)=t²

Min(U,V)<=t ssi U<=t ou v<=t : cela correspond à la réunion des rectangles 0<=U<=t et 0<=V<=t. La surface est 2t-t² : P(Y<=t)=2t-t².

|U-V|<=t ssi U-t<=V<=U+t : c'est le domaine compris entre les droites d'équation V=U-t et V=U+t, c'est à dire le carré [0,1]² privé de deux triangles rectangles isocèles (dans les coins) de coté 1-t. La surface est donc 1-2.(1-t)²/2=2t-t² : p(D<=t)=2t-t²

[alavacommejetepousse]

bonjour

on fait tout avec des dessins maispour maxet min inutile

max (U , V ) < x ssi U < x et V < x et on utilise l'indépendance

min ( U, V )> y ssi U > y et V > y

[virginie66]

comment je fais pour l'espérance ?
j'utilise ce que j'ai trouvé au dessus ?

[alavacommejetepousse]

à partir d ela fonction de répartition on détermine une densité puis l'espérance