Probabilités : le probleme d'occupation

[Cachou-doo]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de proba à résoudre et je bloque sur la derniere question.

Voila les questions auquelles j'ai deja répondu (à verifier car je ne suis pas très sure de moi) :

Soient n et k des entiers naturels. On note G(k,n) le nombre de n-uplets (x1,x2,...,xn) d'entiers naturels tels que x1+x2+...+xn = k.

a) Determiner G(0,n), G(1,n), G(2,n) (en fonction de n) et G(k+1,n) en fonction de k.

voila ma réponse : G(0,n) etant le nombre de n uplets d'entiers naturels dont la somme est 0, G(0,n) est en fait le nombre de n-uplets dont tous les termes sont nuls (seule solution) : donc G(0,n)=1.

G(1,n) est le nombre de n-uplets tels que x1+x2+..+xn = 1. En fait, un des xi est egal à 1, tous les autres sont nuls.
Il y a donc n solutions à cette égalité. Donc G(1,n) = n

G(2,n) est le nombres de n uplets tels que x1+x2+..+xn = 2.
Soit l'un des xi est égal à 2 et les autres sont nuls (n solutions)
Soit 2 des xi sont égaux à 1 et les autres nuls : (n!)/2(n-2)! solutions
Donc G(2,n) = n + (n!)/2(n-2)!

G(k,2) est l'ensemble des couples dont la somme est égale à k : {(0,k),(1,k-1),....,(k,0)} dont k+1 couples : G(k,2)=k+1.

b) Demontrer que G(k+1,n+1) = G(k,n+1) + G(k+1,n)

Je classe les (n+1) uplets suivant que x1 = 0 ou non :
Si x1 = 0, alors etudier les (n+1)-uplets dont la somme des termes donne k+1 revient à etudier la somme des n-uplets dont la somme des termes donne k+1
donc si x1 = 0, G(k+1,n+1) = G(k+1,n)

Si x1 =/ 0, alors x11 (c'est un entier naturel), on a donc
x1+x2+..+xn+1 = k+1 (x1-1)+x2+..+xn+1 = k
Comme x1 , alors (x1-1), donc G(k+1,n+1) = G(k,n+1)

Donc pour tout x1, G(k+1,n+1) = G(k,n+1) + G(k+1,n).

c) En déduire que G(k,n) = (n+k-1k) (k parmis (n+k-1))
Je ne vois pas du tout comment arriver à cette conclusion.

Merci à ceux qui pourront m'aider

[yos]

Le a) est OK.

donc si x1 = 0, G(k+1,n+1) = G(k+1,n)

Egalité fausse... Même avec "si x_1=0".

c) En déduire que G(k,n) = (n+k-1k) (k parmis (n+k-1))
Je ne vois pas du tout comment arriver à cette conclusion.

Récurrence sur n ou sur k.

[yos]

C'est plutôt .

[Cachou-doo]

Je ne sais pas si il y a une erreur dans l'enoncé ou non, mais c'est bien G(k,n) = k parmis (n+k-1)

[yos]

oui j'ai corrigé l'inversion, mais dans ton premier message, je lisais .

[yos]

Pour ta récurrence, fais-là plutôt sur n+k.

[Cachou-doo]

Pourquoi une recurrence sur (n+k) ?? je ne vois pas vraiment comment faire, car n et k sont deux parametres differents !

[yos]

1) Cas de n+k=0
2) Soit . On suppose que pour tout couple (n,k) tel que n+k<N, on a .
Soit (n,k) tel que n+k=N. Alors .

Bref si tu regarde les points du plan de coordonnées (n,k), tu fais l'hyp. de réc. sur les couples (n,k) situés sous la diagonale d'équation n+k=N. Puis tu le démontres pour les points de cette diagonale.