Probabilités et Indépendance

[Manny06]

Bonjour à vous !
Voilà je suis en fac d'éco, en deuxième année de licence, et j'ai donc un cours de proba. J'ai un exercice particulièrement dur (pour moi !) sur l'indépendance, voilà une semaine que j'essaye de le résoudre, mais sans résultat.

Je dois dans un premier temps montrer la relation P(U Ai) = 1- II P(Aic) (excusez moi, je suis mauvaise et je n'arrive pas à écrire la relation comme il faut sur le forum, je vais donc en décrire les termes)

(Ai)i=1...n qui sont des évènements indépendant.
U va de i=1 à n.
II va de i=1 à n.
Aic est le complémentaire de Ai.

J'ai cherchée, mais je suis un peu perdue, je n'arrive pas à démarrer !

Je dois ensuite simplifiée cette expression, sachant que n est équiprobable, et que donc P(Ai) = p,
j'ai supposée que la réponse était 1-np, mais je n'en suis pas sure du tout !


Et enfin, une dernière question où je suis perdue : Si n personnes se trouvent ensemble dans une piece, quelle est la probabilité e que ce soit l'anniversaire d'au moins l'une d'entre elles?

De part l'expression de la question précédente, j'en déduis que c'est 1-n(364/365) en prenant 365 jours pour une année...

Voilà, si vous avez une réponse à l'une de mes questions, je serai ravie d'entendre vos explications, car je suis perdue ! Et je vous remercie d'avance pour ceux qui me répondront !

pour la 1° question tu peux essayer une démonstration par récurrence
pour n=2
avec A1 et A2 indépendants
P(A1interA2)=P(A1)P(A2)
P(A1cinterA2c)=(1-P(A1)(1-P(A2))
développe ce produit
ensuite utilise P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)-P(A1interA2) pour montrer l'égalité demandée (au rang 2)


pour ta relation s'il y a équiprobabilité
P(Ai)=p
P(Aic)=1-p
P(UAi)=1-(1-p)^n

[Anonyme]

@Noëlle
Pistes de travail

1) Quel est l'événement contraire à U Ai (union de tous les Ai)

2) Essaie de calculer la probabilité de cet événement contraire

3) Essaie de montrer que tous les (Aic)i=1... sont des évènements indépendants (Aic : évenement contraire de Ai)

[DamX]

Bonjour,

Quelques petites questions pour t'aiguiller.

* Que vaut le complémentaire de (U Ai) ?
* Si B est événement, que vaut P(Bc) en fonction de P(B) ?
* Si B1,...,Bn sont n événement indépendants ? Que vaut P(inter Bi) (où inter Bi est l'intersection des événements Bi).

Ca devrait t'aider à résoudre le première question.
Pour donner un sens concret à tout ça, je te donne un exemple d'application de cette situation :
Tu joues à pile ou face. Tu lances la pièce n fois. Ai = "j'ai obtenu pile sur le i-ieme lancer". Tous les Ai sont bien sur indépendants, et la question qui correspond à ton calcul P(U Ai) est "quelle est la proba d'obtenir au moins un pile sur les n lancers ?".

Pour la deuxième question, tu t'es trompé, c'est un produit de probabilité et non une somme donc c'est 1-(1-p)^n et non 1-np. D'ailleurs 1-np n'a pas de sens car si n grandit, ta probabilité pourrait être négative, ce qui n'existe pas. Vérifie toujours que ton résultat est forcement entre 0 et 1 lorsque tu calcules une probabilité, ça peut te permettre de trouver des erreurs facilement.

Damien